〔高中數學〕時針與分針互換

Question

現有一個以時針與分針行走，且完全準確的〔12 小時一圈那種〕時鐘。先來看一個例子，如時間在 2:00 的位置，分針正指著 12 點刻度，而時針則直指 2 點刻度，假如把時針與分針互換，就得到一個錯誤的時間位置，因為現在時針指著 12 點刻度，分鐘就必須也在 12 點刻度，而不能在 2 點刻度。現在問題來了，有多少個時間位置，是可以時針與分針互換後，仍舊是一個正確的時間位置？這種位置一定有的，因為我們知道有時針與分針重疊時的 trivial 解。其他的？到底有多少個這樣的解？

這題跟你說的不一樣，你應該完全不用計算，在一分鐘之內，畫一畫圖就知道答案。
好吧，有人真的要計算題的話，就把秒針也加進來好了，變成一個有時針，分針，及秒針的時鐘。現在問題變成：有多少個時間位置，可以互換其中任何兩支針，仍舊是一個正確的時間位置？

Answer 1

總共有12 × 12 － 1 ＝ 143 組這種時間
其中時針和分針重疊的有11組
而時針和分針不重疊的有12 × 11 ＝ 132 組

請問這個答案正確嗎？？


詳解如下 :
從12 : 00 ~ 12 : 05 有一組解 ;
從12 : 05 ~ 12 : 10 有一組解 ;
從12 : 10 ~ 12 : 15 有一組解 ;
從12 : 15 ~ 12 : 20 有一組解 ;
(以此類推)
從12 : 55 ~ 1 : 00 有一組解 ;

所以...............從12點到1點為止總共有12組解，
同理可證.......從1點到2點為止也共有12組解，
......................從2點到3點為止也共有12組解，
......................(以此類推)
......................從11點到12點為止也共有12組解，

所以全部總共有12 × 12 ＝ 144 組解
但是 ”請注意” ，其中有一組解重複了
就是 ”12 : 00 ~ 12 : 05” 和 ”11 : 55 ~ 12 : 00” 這兩組他們的解都是位在12點整，所以要把這一組重複的減掉，所以最後的答案是 :
12 × 12 － 1 ＝ 143 組

2005-06-12 14:05:15 補充：
總覺得你自己也知道答案ㄝ!!你幫我補充好了!! ^^
開玩笑的啦!!等一下我有空再補充!

2005-06-12 16:23:41 補充：
你這題果然是明知故問 ^^，你的方法很好ㄝ!!比起我的土法煉鋼好太多了，這才像是學數學的人寫出來的東西。...受教了 ^^

Answer 2

只要原問題就好了，補充裡的問題，是給喜歡計算的人思考的。我雖然知道怎樣算，我自己也懶得去算，是要很小心沒錯。而且我是要數對的時間位置，而非求出來每個這樣的位置出來，這不一樣的。

2005-06-12 13:51:15 補充：
To 探戈探戈：呵，你總得「簡單」地解釋一下為何是 12 x 12 - 1 吧？不然選了你，網友是不服氣的。

Answer 3

可是時鐘的秒針都是用跳的耶...
很少有秒針是用轉的吧(雖然我家有一個)
這樣很難解耶

Answer 4

和這題類似http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1105052210428，去慢慢算吧