工程數學的power series

Question

請問singular point求解
跟ordinary point求解有何不同
還有要如何念power series比較容易
我下禮拜要期末考了
多謝

Answer 1

你的問題牽扯範圍蠻大的，而且只給「五點」（我太現實了^Q^），所以我只能大概說明一下。

要討論到是使用singular point求其解或是ordinary point求其解，你必須先從二階O.D.E中的一階微分項係數P(x)以及一次項係數Q(x)先判別 x為singular point或是ordinary point，這是最首要的步驟。
（注：Regular singular point 以及 Irregular singular point的辨別方式我就不贅述，要考試的自己要看吧. . . ^^"）

然而，power seriers有以下兩個定理在O.D.E求其解的時候必定會用的：


假設一個二階ODE表示成「y"＋P(x)y'＋Q(x)y ＝ 0」

定理一：
若 x＝a 為上式的 ordinary point ，則此方程式的任意解，可表示為以下形式：
y(x) = sigma（n=0→無窮大） An（x－a）^n ｜x - a｜< p
其中 p為收斂半徑，是展開的點當中到最近的singular point的距離。

定理二：
若 x ＝ a 為上式的 Regualr singular point ，則該方程式一定有一個解，可表示成下列形式：
y(x) ＝ ( x－a )^k * sigma(n=0→無窮大) An（x－a）^n 0 <｜x - a｜< p
其中 p為收斂半徑，是展開的點當中到最近的singular point的距離。

定理三：
若 x = a 為Irregualr singular point，表示這個方程式中並沒有（x - a）這樣的形式的解形式

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而之後的ordianry point展開求解ODE，我想你要考試應該都知道了，我只提示一些判別上的技巧。

（1）利用展開求其解，最好是有ODE初始條件給你是（沒給也是可以的^^"）
（2）P(x)、Q(x)不是多項式的時候解題最快速（重要！）
（3）展開這個方法雖然很簡單，但是如果 y的 n階的通向可以求出來時，就要用討人厭的歸納法得到（不會沒關係，考這種題目通常寫完都下課了）

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至於Regualr singular point的展開求解方式，因為要討論的東西太多，如果你學校有要考這方面的題型，在補充於你的問題之中，當然最好再另外開一版面吧T^T
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＊至於Power series的部份....

power series的基本形式是基本功，converge判別是你第一個研讀目標，power sersies收斂時，收斂半徑的求法要知道。如果有另外要討論Taylor serise或是討人厭的XXX Maclaurin serise再問吧...

Answer 2

工程數學好難偶...還好我學的是管理數學