〔數論〕分解整數係數二次方程

Question

設 M, N 為正整數，請問兩個二次式 (x2 + Mx + N)  及  (x2 + Mx - N)  同時有整數根的充分及必要條件？換句話說，請找出「所有」令上列兩式都有整數根的 (M, N)。例子要想一下，我乾脆先列 3 個：(1) x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)；x2 + 5x - 6 = (x - 1)(x + 6)(2) x2 + 10x + 24 = (x + 4)(x + 6)；x2 + 10x - 24 = (x - 2)(x + 12)(3) x2 + 13x + 30 = (x + 3)(x + 10)；x2 + 13x - 30 = (x -2)(x + 15)

Answer 1

M=p^2+q^2
N=pq(p+q)(p-q)
其中p,q均為正整數，且p>q


(x^2 + Mx + N) 及 (x^2 + Mx - N) 同時有整數根
這表示二者的判別式(M^2-4N)和(M^2+4N)均為完全平方數
那麼兩者相乘仍為完全平方數，令其為a^2，a為整數
即(M^2-4N)(M^2+4N)=(M^2)^2-(4N)^2=a^2
a^2+(4N)^2=(M^2)^2
那麼a,4N,M^2三者即為一組畢式數，必可表示成
a=b^2-c^2
4N=2bc
M^2=b^2+c^2
又，M,b,c又是一組畢式數，可表示為
b=p^2-q^2
c=2pq
M=p^2+q^2
代回去，N=bc/2=pq(p^2-q^2)=pq(p+q)(p-q)
故若(x^2 + Mx + N) 及 (x^2 + Mx - N)同時有整數根，必可找到正整數p,q(p>q)滿足M=p^2+q^2，N=pq(p+q)(p-q)
(才疏學淺，不曉得k是怎麼變出來的，因為這個方法我還不太熟悉)

逆定理：
若M=p^2+q^2，N=pq(p+q)(p-q)，則
x^2 + Mx + N=[x+q(p+q)][x+p(p-q)]兩根均為整數
x^2 + Mx - N=[x+p(p+q)][x-q(p-q)]兩根亦均為整數

Answer 2

x^2+Mx+N=(x-a)(x-b)=>M=-(a+b) N=ab
x^2+Mx-N=(x-c)(x-d)=>M=-(c+d) N=-cd
a,b,c,d為整數
因為M,N為正整數, a+b=c+d<0 ab= -cd>0
d=a+b-c ab= -c(a+b-c)=>c^2-(a+b)c-ab=0
因為a+b<0=>a>0 b<0 or a<0 b>0 or a<0 b<0
ab>0 =>a>0 b>0 or a<0 b<0
所以 a<0 b<0 且 b> -a
c 也是整數 a+b+(a^2+6ab+b^2)^(1/2)=2c......eq

結果是當在(a, b)第三象限的區域內,用斜率 1 的直線切為兩半的上半三角形內(b>-a) 又符合eq這個等式的(a,b)即為解
M=-(a+b) N=ab

例如(a,b 可對調)
a=-1 b=0 => c=0 => M,N=1,0 不合
a=-2 b=0 => c=0 => M,N=2,0 不合
a=-2 b=-1 => c 非整數 => M,N=3,2 不合
a=-3 b=0 => c=0 => M,N=3,0 不合
a=-3 b=-1 => c非整數 => M,N=4,3 不合
a=-3 b=-2 => c=1 => M,N=5,6 合
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應該是有無限多組吧

如有錯誤還是更簡單 精確的方式 請多多指教 謝謝

Answer 3

M^2±4N為平方數
這樣子會不會太籠統

Answer 4

還有…晚風大大

若以你這樣說的話

(X^2+MX+N)=(X+1)(X+N)
(X^2+MX-N)=(X+1)(X-N)

若兩數相乘的話不就被成這樣？(X+1)^2*(X^2-N^2)

Answer 5

To 晚風：當然不是我要的啦，我上面寫：M, N 為正整數。而且我要所有 M, N。

2005-06-10 12:33:31 補充：
那算部分解答，當然最好是以參數形式表達所有解。

2005-06-11 00:02:14 補充：
評語的第一行請刪去。應該是：留意如果把 M 改為 kM，N 改為 (k^2)N，則仍舊是一組解。阿克的解完全正確，不過很多解都可以從更基本的解產生，所以最後只要求這些不可被產生的解就足夠了。當然，這時候，其表達形式不見得更簡單。