費式數列 : 連續 n 個合數 ?

Question

對任意正整數 n, 証明 存在連續n個費式數都是合數例如n=3f(8)=21有因數3f(9)=34有因數2f(10)=55有因數5n=5f(18)=2584有因數2f(19)=4181有因數37f(20)=6765有因數5f(21)=10946有因數2f(22)=17711有因數89

Answer 1

f((n+2)！+3)，f((n+2)！+4)，f((n+2)！+5)，......，f((n+2)！+(n+2))這n個數必然都是合數
因為(n+2)！+k必然是k的倍數(k=3,4,5....(n+2))
而f(mn)可被f(m)整除，
故f((n+2)！+k)可被f(k)整除，f(k)不是1，是真因數，
故f((n+2)！+3)到f((n+2)！+(n+2))這n個數必然都是合數。
希望不要辜負你的用心。
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關於f(m)│f(mn)的證明(m,n為正整數)：
當n=1時，顯然為真，那麼我們討論n為2以上的情形，
利用f(a+b)=f(a+1)f(b)+f(a)f(b-1)
改寫成f(m+(n-1)m)=f(m+1)f((n-1)m)+f(m)f((n-1)m-1)
當n=2時，f(2m)=f(m+1)f(m)+f(m)f(m-1)=f(m)[f(m+1)+f(m-1)]為f(m)的倍數，敘述為真。
假設n=k時為真，f(m)│f(km)
當n=k+1時，f(m+km)=f((k+1)m)=f(m+1)f(km)+f(m)f(km-1)也是f(m)的倍數。
(因為f(km)和f(m)都是f(m)的倍數，分別乘上其他正整數再相加，還是f(m)的倍數)
因此f(m)│f(mn)。

2005-06-08 14:09:49 補充：
因為f(2)=1呀！

2005-06-08 20:30:28 補充：
啊？
我的意思是
(n+1)!+k必然是k的倍數k=2,3,...,n+1
這沒錯，f((n+1)!+k)必然是f(k)的倍數，這應該也沒錯。
但是k=2時，f((n+1)!+2)必然是f(2)=1的倍數，這並不能說明f((n+1)!+2)是個合數呀！
所以我的k要從3開始。