有趣且簡單的機率問題

Question

 假設您正在參加一個機智問答的節目，當您披荊斬棘到最後一關的時候，主持人說道： 「這裡有三扇門，其中兩扇後面是垃圾桶，只有一扇後面是一百萬元獎金。請問您要選哪一扇？」 您心中遊移不定，反覆苦慮再三之後，終於下定決心選出其中一扇門。 「覺得機率太低嗎？好，讓我來幫你一把……」 主持人說完，就把剩下兩扇門的其中一道打開，裡面出現的是垃圾桶。 「好了，請問您要保留原來的選擇，還是要選另一扇門？」 這時您會做什麼選擇呢？ 這是一個流傳已久的邏輯問題，非常值得各位來深思。 保留原來的選擇，得到百萬元獎金的機率是1/2、大於1/2、還是小於1/2？ 別太急著做出決定，再仔細想想吧！ 知道答案的人，請仔細思考該用什麼方法來解釋，才比較能讓對方理解答案的個中奧妙。^^

Answer 1

採用換的得獎機率是２／３，不換則是１／３。

因為主持人會打開 １個沒獎金的門，
只要一開始選到沒獎金的，換就一定會成為百萬富翁；
如果一開始選到有獎金的，換就會成為垃圾桶王子了。
故『換』得到百萬獎金的機率為『一開始沒選到的機率』，即２／３。

若是不換，第一次選中的機率就是得獎金的機率，即1/3。

感想：【有這麼好康的節目我也要參加！！】

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補充說明：

這個題目在我多年前第一次遇到時，
我也是直覺地認為兩者的機率應該相等，
事隔多年後才發現：此機率，非彼機率也。

其實這應該自己發現，箇中樂趣會比較大。
以下用兩點補充說明，希望大家都能明瞭。

【壹、實例說明】

假設ａ、ｂ、ｃ門後三樣東西依序是：垃圾桶、垃圾桶、一百萬。

張三第一次選擇為ａ（或ｂ）時，主持人會打開ｂ（或ａ）的門；
很明顯，只要他選擇換，就會換到ｃ，成為百萬富翁。

倘若張三第一次選到ｃ，主持人可能打開ａ門，也可能打開ｂ門；
很明顯，只要他換，就會離ｃ而去，成為垃圾筒王子。

經由以上討論，【換】得到百萬獎金的機率為：
一開始選到ａ或ｂ門，機率為２／３。
另外，堅持【不換】而得到百萬獎金的機率為：
一開始選到ｃ門，機率為１／３。

【貳、以矛攻盾】

假設今天我是節目的製作人兼主持人，
我把３個門改成１０００個門，其中只有一扇門後面是一百萬。

一樣地，我先請你選一扇門，
假設你選的是７好了，
而我把一百萬藏在６８號門。

然後我發瘋地把１～６、８～６７、６９～１０００的門全部都打開，
此時你換還是不換呢？

你還堅信：
【一百萬就在剩下的兩扇門裡，換與不換的《機率》都是１／２嗎？】

希望大家都能看懂：
為了５點數而折腰，為了早日使用語法，而打的這一大串說明。︿︿＂

2005-06-08 00:12:13 補充：
「好了，請問您要保留原來的選擇，還是要選另一扇門？」

2005-06-08 20:14:54 補充：
｛保留原來的選擇　＝　不換
｛選另一扇門　＝　換

想起以前數學補習時，台上老師說：
【因為國文素質低落，造成數學慘敗！嗚呼哀哉！】

呵，開玩笑的，若你很介意的話，我跟你道歉；
希望我後來的說明你看得懂唷～︿︿＂

2005-06-12 09:22:21 補充：
題目問的是：

保留原來的選擇比較好，
還是更改原來的選擇比較好。

一般人的想法都會忽略掉原先選擇的情形，那是要考慮的！！

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我覺得我已經說明清楚了～
請各位花點時間看一下我的說明，
感激不盡～！！

Joy 先生：
請看清題目～
答非所問喔～

無力啊～＞＜＂

Answer 2

假設ａ、ｂ、ｃ門後三樣東西依序是：垃圾桶、垃圾桶、一百萬。
得獎的方法有選a再換，選b再換，選c不換
分別機率1/3*1/2、1/3*1/2、1/3*1/2（換與不換的選擇是均等）
1/6+1/6+1/6＝1/2

Answer 3

這題有人問過囉,我的想法是:

一開始三選一時,選中100萬的機率是1/3.

在主持人打開一道門後,剩下的情況變成了二選一,所以垃圾筒或100萬的機率各是1/2.

所以換不換機率都一樣.