〔數論〕什麼時候是 5 的倍數？

Question

設 n 為正整數。找出所有令 1 + 2n + 3n + 4n 為 5 的倍數的 n？

既然還有時間，這問題對兩位似乎簡單了點。那就去證明一般的問題吧。設 p 為一質數，證明對任意正整數 n,
1^n + 2^n + ．．． + (p-1)^n = 0 (mod p)
的充分及必要條件為 n 不是 (p -1) 的倍數。

以上的 p 不為 2。

Answer 1

若 (p-1)|n則令 n=(p-1)m根據費馬小定理知道1n + 2n + ... + (p-1)n≡ 1(p-1)m + 2(p-1)m + ... + (p-1)(p-1)m≡ (1p-1)m + (2p-1)m + ... + ((p-1)p-1)m≡ 1m + 1m + ... + 1m≡ 1 + 1 + ... + 1≡ p-1≡ -1 (mod p)反之若 p-1 不整除 n令 r 為 p 的 primitve root則 r1,r2,...rp-2 模 p 為 2,...,(p-1) 的一排列1n + 2n + ... + (p-1)n
≡ 1n + (r1)n + (r2)n + ... + (rp-2)n≡ 1 + (rn)1 + (rn)2 + ... + (rn)p-2
≡ [(rn)p-1 - 1] / (rn - 1)
≡ [(rp-1)n - 1] / (rn - 1)
≡ [1n - 1] / (rn - 1)
≡ 0 (mod p)得証

Answer 2

n=4k+1或4k+2或4k+3
其中k為非負整數


若a為正整數，則(a^5-a)必為[2,5]=10的倍數，即a≡a^5(mod 10)，請參考這裡：http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1105052701131
則a≡a^5≡a^9≡a^13....≡a^(4k+1)(mod 10)
因為a^(4k+1)≡a(mod 10)
因此a^(4k+2)≡a*a≡a^2(mod 10)
同理，a^(4k+3)≡a^3(mod 10)
a^(4k+4)≡a^4(mod 10)

因此，
1 + 2^(4k+1) + 3^(4k+1) + 4^(4k+1)≡1+2+3+4≡10≡0(mod 10)
1 + 2^(4k+2) + 3^(4k+2) + 4^(4k+2)≡1+4+9+16≡30≡0(mod 10)
1 + 2^(4k+3) + 3^(4k+3) + 4^(4k+3)≡1+8+27+64≡100≡0(mod 10)
何止是5的倍數，根本就是10的倍數。
雖然比較囉唆，但我就是不能跟dd一樣，我必須要有自己的思維，因為這是我自己想出來的，沒有求助於柯皮大師。

2005-06-06 22:07:58 補充：
這對我就難了。
我只知道若n是(p-1)的倍數，
1^n+2^n+．．．+(p-1)^n≡(-1)(mod p)(匆匆用費馬小定理證的，可能有錯)
最近想你的問題，花了太多時間，要休息一下了，不然整天心神不寧， 畢竟我比dd弱太多了，不堪你的"折磨"。