斐波那契數列的應用問題

Question

F1=1,F2=1,F3=2,F4=5,F5=8....
請問在斐波那契數列第2004項中,有多少項其各位數等於2??
謝謝各位不辭辛勞的幫我解這問題...><''

Answer 1

類似之前的某題
其實我還是以同餘為出發點


f(3)=2|f(n) iff 3|n
f(5)=5|f(n) iff 5|n
所以10|f(n) iff 15|n


不過要算餘數的話
那就要考慮幾個數才會循環了
只要f(m-1)≡1(mod p)且f(m)≡0(mod p)
那麼f(n)模p的話m個數一循環

f(2)≡1(mod 2)且f(3)≡0(mod 2)
所以f(n)模2三個數一循環

f(5)≡0(mod 5)但是f(4)≡3(mod 5)
而f(5k)≡0(mod 5)
所以我們只要去算f(5k-1)模5何時等於1
f(9)≡3*3≡4(mod 5)
f(14)≡3*4≡2(mod 5)
f(19)≡3*2≡1(mod 5)
所以f(n)模5二十個數一循環

所以f(n)模10要60個數才一循環
接下來只要去算這60個數中有幾個2之後就可以容易地推得答案了

2005-06-06 21:30:10 補充：
因為是模10可以很好算
直接算就好了
但是一般性的話
大概得分開考慮了

Answer 2

沒錯你答對了

Answer 3

你是不是要問菲波那契數列前5項是1,1,2,3,5，求"前"2004項中，有多少項其"個"位數等於2？
若是的話，在下獻醜了。
以同餘的觀念解，把費式數列的每個數都求出模10的餘數，則
下式仍然成立：第n項≡第(n-1)項+第(n-2)項(mod 10)
於是我們可以重新寫過費式數列
1,1,2,3,5,8,3,1,4,5,9,4,3,7,0,7,7,4,1,5,6,1,7,8,5,3,8,1,9,0,9,9,8,7,5,2,7,9,6,5,1,6,7,3,0,3,3,6,9,5,4,9,3,2,5,7,2,9,1,0,1,1..........(每一項等於前兩項之和再模10的餘數)
每60位為一個循環(看來我這個方法高明不了多少，60位！！)(當連續兩項出現1,1時，就是開始循環了)，每個循環有4個2，2004=60*33+24
因此前2004項有(4*33+1=133)項的個位數是2
答案就是133項

2005-06-06 21:17:58 補充：
dd：
那請問怎麼算這60個數有幾個2？(除了我的笨方法之外)

2005-06-06 21:40:40 補充：
直接算怎麼算？講一下講一下！

Answer 4

怎麼感覺怪怪的啊..........