〔高中數學〕證明 n^4 + 4^n 為合成數

Question

證明對所有正整數 n > 1，n4 + 4n 為合成數。

Answer 1

從不規律中找規律
正是數學有趣所在

2005-06-02 22:32:04 補充：
當n為偶數時，n^4 + 4^n必為偶數且大於2，所以必為合成數
現在討論n為大於1的奇數時，設n=2k+1，則k為正整數
我們可以找到正整數a、b、c、d，使得
a=2^k、b=n-2^k、c=2^k、d=n+2^k
於是我們知道
ac+bd=(2^k)*(2^k)+(n-2^k)(n+2^k)=2^2k + n^2 - 2^2k=n^2
且
ad-bc=(2^k)*(n+2^k)-(2^k)*(n-2^k)=(2^k)*n + 2^2k - (2^k)*n + 2^2k=2*(2^2k)=2^(2k+1)=2^n
所以(ac+bd)^2=(n^2)^2=n^4，(ad-bc)^2=(2^n)^2=4^n
又知道等式(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2=(a^2+b^2)*(c^2+d^2)
又a、b、c、d為正整數，所以(a^2+b^2)跟(c^2+d^2)都大於1
故n^4+4^n可以分解成大於1的兩個數(a^2+b^2)、(c^2+d^2)的乘積(a、b、c、d就不便代回)

此為我個人之淺見，希望有所幫助

>>噢對不起，b有可能為負數，當b為負數時
>>等式(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2=(a^2+b^2)*(c^2+d^2)仍然成立
>>等式右邊仍然是兩個正數乘起來
>>謹慎起見，討論b=0的情形
>>若b=0，則n-2^k=0，n=2^k，2k+1=2^k
>>由於k為正整數(因為討論n大於1的情形)
>>所以等號左邊是奇數，右邊是偶數，故無正整數解
>>所以知b為非零整數，故(a^2+b^2)>1

Answer 2

n=35 34368914633*34350564553
n=45 53*35183994603497*663863199589
n=55 36028782255016913*36028811782917073

2005-06-02 12:11:50 補充：
n=65 75 85 95 105 都有2位數的因數

Answer 3

......
這不是給你用程式硬爆的題目...

Answer 4

<今日何必多睡,死後可以長眠>
開個玩笑,別介意.........

2005-06-01 22:04:39 補充：
小心電腦當掉..........

2005-06-02 10:30:00 補充：
dd兄:
麻煩借用一下你的電腦,幫我跑一下這一題好嗎?感激不盡.........
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1005030106124

Answer 5

果然是高手出的題目，誠如dd兄所言，這題真正要證的是n的個位數為5的情形。因為n的個位數為0,2,4,6,8時，易證得n^4+4^n為16的倍數；n的個位數為1,3,7,9時，n^4+4^n為5的倍數也不難證；但是n的個位數為5.....要命，為什麼我會看到這個題目？晚上睡不著覺怎麼辦？

2005-06-01 19:49:02 補充：
所以呢？你們就是故意要害我失眠，沒關係，我用手把眼睛遮起來，看不見，看不見....

Answer 6

你為什麼不先說 n 為偶數時啊？

2005-06-03 18:02:30 補充：
真容易打錯字，第二因子中的 } 括錯了。

Answer 7

n=10k+5時....

2005-06-01 13:54:17 補充：
when even it's trivial

2005-06-01 19:23:38 補充：
n=5 17*97
n=15 29153*36833
n=25 跑不出來了qq
太神奇了

2005-06-01 19:56:14 補充：
n=25 29*373*3121*33350257

2005-06-01 20:28:19 補充：
n=35 跑到20000000還找不到因數

2005-06-02 09:32:46 補充：
n=35 跑到120000000還找不到因數

2005-06-02 13:02:42 補充：
千里不留名:
我寫的程式沒法跑那一題啦qq

2005-06-02 13:03:17 補充：
照這個情形看來
似乎沒什麼規律可循