[高中數學]費馬最後定理的應用

Question

利用費馬最後定理，找出下列方程y2 = x3 -432的所有整數解。

還沒有滿意解答的話，我將在最後一天自行移除。有人想知道我的解決方法，請先行複製，然後通知我。點數隨意。

Answer 1

由費馬最後定理知(t-12)^3+(24-t)^3=x^3 只在t=12 or t=24有解
而(t-12)^3+(24-t)^3=(6t-108)^2+432=(一個整數的平方)+432=x^3
所以若題目有解,t=12 or t=24,此時x=12,y=36 or -36

(應該還要再證明 6 | y 才完整,但是真的沒有辦法)

Answer 2

費碼最後定理可以在直角座標上顯示嗎

Answer 3

費碼最後定理要怎麼證明啊？
就是：
a^n + b^n = c^n，
n＞2，a.b.c≠0
試證：a.b.c為何無整數解

Answer 4

請問是哪一間高中的考題??

Answer 5

費馬最後定理 n=3 時，
x^3 + y^3 = z^3 ，
也就是說，x, y, z 三者中至少有一為零。

但是這一題接不上x^3 + y^3 = z^3

但如果用最簡單的方法來算就是
x3-y2-432=0 y2=x3+ax2+bx+c
(x-12)(y-36)=0
x=12
y=36

Answer 6

呃！那請問你大學時期的同學大概都畢業多久了？
現在的高中很少把較深入的數論納入課程教材
除了少數學校附設的數理資優班以外，大多數高中不會多講費馬大定理

Answer 7

y^2+216不為完全立方數，然後呢？我做不下去了。

Answer 8

其實你只要說X^n+Y^n=Z^n
當n大於2的時候沒有整數解，就比較容易看得懂了。
你的解釋高中生也未必看得懂。

Answer 9

就我所知,高中好像還不清楚什麼是"費馬最後定裡"耶!除非是現在的教育制度已經提升許多了........

Answer 10

前題是你可以利用費馬最後定理。嗯，初中數學就夠了，寫太高程度了，不好意思，你一定認為太容易了，呵。

2005-06-02 01:13:01 補充：
好吧，所有進來看的高中生請看，費馬最後定理 n=3 時為：
x^3 + y^3 = z^3
的整數解都是 trivial 的，也就是說，x, y, z 三者中至少有一為零。
現在高中生知道了此定理，只需要初中的數學知識就可以解題了喔。

2005-06-02 17:29:28 補充：
To GAS，問題是你的描述不全對啊。(m, 0, m), (0, m, m) 等等都是解啊，其中 m 為整數。

2005-06-04 12:06:02 補充：
Gas 太少看高中生了，我很多大學同學，初中時就自學完微積分，分析上也有很好的基礎，高中時就開始看微分方程、數論，抽象代數的 Galois 理論，程度好一點的已經在看拓撲學了，大一時已經對微分幾何及泛函分析有一定了解喔。在這些人的刺激下，想不提高都難啊。

2005-06-05 01:27:39 補充：
還是言歸正傳吧。我們不是要了解費馬最後定理的證明，而是要用而已，何況 n = 3 時的證明也不算太難。

2005-06-08 10:47:10 補充：
To 小黧：你只是對了一解。你怎知沒有其他的解？這題當然可以扯上費馬最後定理，我就是用費馬最後定理找出所有整數解的。

2005-06-12 02:07:11 補充：
這題沒有人解出來實在可惜啊，這跟我很多其他題目一樣，說穿了就簡單到你想拿頭撞牆。給一個提示，想想如何可以作些調整，變出兩項三次方的式子，然後原有的 y^2 + 432 都不見了，然後就化成費馬最後定理的樣子，然後你就解決了問題，．．．呵，我就是這樣想的。

2005-06-12 12:44:24 補充：
你也跳步太快了吧，而且要用費馬最後定理還不明顯，我還沒有看出 a^3 + b^3 = c^3 這種形式。

2005-06-13 00:47:19 補充：
想法是要弄出兩項 y 三次方程，其差剛好為 y^2 + 432，但又可能要乘上一個立方係數以作調整，於是稍為試一下，就可發現：
216(y^2 + 432) = (y + 36)^3 - (y - 36)^3

2005-06-13 04:36:37 補充：
無可否認，證明過程完全沒有用任何高深數學。只假定了高中生知道費馬最後定理是在談什麼就好了。而這假定是非常合理的，即使不知道，我也寫成意見了。至於是那間高中，其實都沒差，很多高中的計算題，比這難上十倍不止啊。

Answer 11

這題目高中程度?