三角函數證明+問題

Question

1.試證明 sin10 ° *cos20 ° 為無理數
2.sinX+cosX=1/2 試求sin5X+cos5X

Answer 1

1：
原式=1/2×(sin30°–sin10°)←（積化和差）
=1/4–1/2×sin10°←轉而證明sin10°為無理數
令sin10°= x，則利用三倍角公式可得：
sin(3×10°)=3‧x–4‧x^3=1/2←（sin30°）
→1/2=3x–4x^3
→8x^3–6x+1=0
此一元三次方程式，利用一次因式檢驗定理得知，無法得到有理根，
故x不可能為有理數，也就是sin10°不是有理數
∴sin10°不是有理數，∴原式為無理數，故得證。

2：
我是利用倍角公式來計算：
根據cos(kθ)=Tn(cosθ)，其中Tn為第一類Chebyshev polynomial，故可得：
cos(5θ)=16cosθ^5–20cosθ^3+5cosθ，同理：
sin(5θ)=16sinθ^5–20sinθ^3+5sinθ，（在此為表達方便，將cosθ用c表示，sinθ用s表示）
故原式可表達成：
16×(s^5+c^5)–20×(s^3+c^3)+5×(s+c)………………………………（*）
由於s+c=1/2，兩邊平方可得1+2sc=1/4→sc=–3/8
再利用a^k+b^k=(a+b)×(a^(k–1)+b^(k-1))–ab(a^(k–2)+b^(k–2))
可得：
s^3+c^3=(s+c)×(s^2+c^2)–sc×(s+c)=1/2+(3/8)×(1/2)=11/16………（A）
s^4+c^4=(s+c)×(s^3+c^3)–sc×(s^2+c^2)=(1/2)×(11/16)+(3/8)=23/32………（B）
s^5+c^5=(s+c)×(s^4+c^4)–sc×(s^3+c^3)=(1/2)×(23/32)+(3/8)×(11/16)=79/128…（C）
由（A）、（B）、（C）代回（*）可得：
原式=16×(79/128）–20×(11/16)+5×(1/2)=–11/8。
第二題算得有點笨拙，希望有人可以將其再簡化一點
也希望可以對原問者提供適當的幫助

Answer 2

第一題的話，應該可以用三倍角公式硬算吧…
(有錯請指正…^^)

Answer 3

Galois Theory是我的遺珠之恨

Answer 4

第一題還真有點難度，我只知道一個方法可以證明，卻不算高中數學了。就是由 Galois 理論知道 cos(20°) 不是 constructible，從而推出 cos(80°) = sin(10°) 不是 constructible, 所以不是有理數。而題目用積公式就知道，只要證明 sin(10°) 為無理數就證完了。
第二題，我想到最快的方法是把 sin(X) + cos(X) 寫成 sqrt(2)[cos(X - 45°)]，然後 sin(5X) + cos(5X) 寫成 sqrt(2)[cos(5X - 45°)]。經過一些計算後應該可以得出答案，不行再說，我現在懶得算。

2005-06-02 11:29:58 補充：
是可以硬算出，就像 wmt 算出的 8x^3–6x+1，不過要檢算是否為irreducible [over Q]，就是無有理根，還是要花一些功夫的，沒有像證明 sqrt(2) 是無理數那麼容易。解答中把這最可能是困難的部份一筆帶過。