請用同餘的方式證明

Question

請用同餘的方式證明出以下的(x,y)是否有"正整數"解?如果有,是否為"惟一解"??1.x3+2=y22.x3+7=y2ps:此題我將自選最佳解答,請愛好數學的人一起動動腦吧!

抱歉第一題題目打錯了,應該是x^2+2=y^3.......

Answer 1

你還真的貼出來啊。第一題跟你說了，我不知道有這樣的證明的。第二題我卻知道答案，由於真的不難，所以就由網友去討論吧。

2005-05-29 11:36:54 補充：
一定要用同餘的方式麼？可是這題 x^3 + 2 = y^2 〔你未修改前，就是原先還未完全解決的部份〕有可能有大家都看得懂的「初等證明」，．．．，那算不算回答你現在的第一題？沒空想深入點．．．閒時再來應你。各位慢慢討論吧，我的嘗試解答將等到最後一天，不會搶各位的思考雅興。

2005-05-31 02:27:45 補充：
千里不留名：關於這題 x^3+2=y^2，你不用修改題目，我試了一個方法是可行的，作變換、同餘、外加一個重要的估計觀察。這雖然是一個初等的方法，但是為了用上次解題那種技巧，卻要證明不少式子，那是因為作變換後我會得到一個不是 UFD 的 domain，而且只針對少量的例子可以這樣算。這問題在一百年前左右就知道答案只有 (-1, 1) 及 (-1, 1) 兩個整數解了，有些七八十年前的文章發表在二十世紀初的數學期刊上會提到，太久了，圖書館都不見得找得到。

2005-05-31 02:29:39 補充：
呵，要詳細的證明要打滿四頁吧．．．饒了我吧。我試試可否把它分成獨立的小題目。

2005-05-31 03:54:19 補充：
這種形如 X^3 + D = y^2 的方程稱為 Mordell 方程，有不少人研究過的，目前沒有一般通用的解決方法。不過它對應到一個特定的 binary cubic form，從 Thue 定理可知道其整數解只能是有限個的。開始專門了啊，這．．．有時間再說吧，畢竟像費馬一樣，這只是我的業餘興趣。

2005-06-01 02:17:01 補充：
其實第二題是不同難度的，用同餘的方法，幾行就可以證完，網友應該有人可以想出來的，可以不自己出手，就不出手，因為我懶。

2005-06-01 09:39:56 補充：
第一題與第二題，真是不成比例的難度，放在一起本來就怪怪的，你不認為麼？第二題真的不難，說穿了你會笑的。

2005-06-01 18:48:58 補充：
如果質數 p = 3(mod 4)，證明對任意整數 y, y^2 + 1 = 0 (mod p) 是不可能的。

2005-06-01 20:24:57 補充：
【第一題條件式解答】還是集中討論   x3 + 2 = y2 的整數解喔。我希望運用先前解決 x3 - 2 = y2 的方法解決 x3 + 2 = y2。最主要的困難在於，雖然 Z(√2) 為 UFD，可是其單位有無限個形如 (1 + √2)k  的數，這使得要解的整數方程沒有更為簡單。不需要太早放棄，也許還有辦法的。首先，我們作一線性變換：令 x = z - 1。z3 - 3 z2 + 3z + 1 = y2所以  (z + 1)3 = y2 + 6z2左右邊都為齊次方程，我們先假設以前的方法在此管用〔雖然 Z(√-6) 不是 UFD，但是其單位只有 ±1〕，則存在兩個整數  u  及  v，使得： y + z (√-6) = [u + v (√-6)]3於是z = 3v[u2 - 2v2]    及   z + 1 = u2 + 6v2把第二條 z 的值代入第一條後得：u2(1 - 3v) = 1 - 6v2 - 6v3將  u  及 v  分開兩邊寫：9u2 =  18v2 + 24v + 8  + [1/(1 - 3v)]因此  3v - 1 = ±1。v  為整數，故 v = 0，從而  u = ±1。代入原式後得：z = 0， 因此  x = -1 及 y = ±1。這就是所有整數解了。剩下的問題是：為何先前的方法可以在這兒適用？由於  Z(√-6 )  並不是  UFD，原因當然不是因子分解定理了，而是我們作變換後的方程的特質了吧？這部份有點長，我另開一個題目好了，敬請期待，怎能讓千里兄有遺憾喔？。【第二題解答】設 x, y 為 y2 = x3 + 7 的整數解。顯然 x 為奇數，因為平方數不可能為 8k + 7 的樣子。兩邊加 1 後作因子分解得：y2 + 1 = x3 + 8 = (x + 2)(x2 - 2x + 4)由於 x 為奇數，x2 - 2x + 4 = (x - 1)2 + 3 ≡ 3 (mod 4)那麼  x2 - 2x + 4 必有一質數因子 p ≡ 3 (mod 4)，且我們有y2 + 1 ≡ 0 (mod p)，這是不可能的。〔請自行用費馬小定理證明〕

2005-06-05 01:32:04 補充：
只剩下兩天了，都沒有對第一題的討論或想法麼？應該不用限定在同餘的方法吧，其實同餘的方法可以解決的情形並不算太多，有空我可以再舉些例子，但是 x^3+2=y^2 似乎是不行的。

2005-06-08 01:57:51 補充：
我看到有人說第二題的證明是 V.A. Lebesgue 的想法。

Answer 2

可以去問數學知識名人阿`
寫信給他就好了

2005-06-02 03:28:49 補充：
小鋸鱷同學~我同意你的看法
剛看了一下數學知識名人小美猴~Ayu
的回答~真的多是高中以下的問題
正文也多沒標示出來，而且他的解法和表達方式不夠簡鍊。感覺有點囉嗦=.=
那..他怎麼會變成知識名人~?
(知識+)設知識名人不是要讓我們方便去尋問嗎?
雖然如此~我覺得還是你寫信給他看看好了~他可能會吧

Answer 3

第二題給點提示怎樣？說不定我可以，因為我知道千里不留名蠻看好我的，當然我知道我只是個nobody，一個在采石磯畔題詩，魯班門前弄斧的小子，但是我有「被需要的需要」，拜託給點提示吧！謝謝！

2005-06-01 20:03:38 補充：
還是放棄算了，這種模數是未知數，尤其是質數的，最麻煩，已經超出我的能力了。況且就算我證出來，我也看不出它跟x^3+7=y^2有何關係，我想我是被千里兄高估了，抱歉了各位。

2005-06-01 22:36:59 補充：
喔！我懂了，是這樣嗎？當p│y時，顯然為真。
設y不為p之倍數，且y^2≡(-1)(mod p)成立，
設p=4k+3
根據費馬小定理，y^(4k+2)≡1(mod p)
又y^2≡(-1)(mod p)
兩式相加y^2[y^(4k)+1]≡0(mod p)
因為y^2與p互質，所以可除去，
y^(4k)+1≡0(mod p)
y^(4k)≡(-1)(mod p)

2005-06-01 22:37:15 補充：
再用一次y^2≡(-1)(mod p)，兩邊平方y^4≡1(mod p)，兩邊k次，y^(4k)≡1(mod p)
所以得到y^(4k)≡(-1)≡1(mod p)
2≡0(mod p)
p│2，矛盾，故y^2+1≡0(mod p) 是不可能的。
對不對呢？

Answer 4

可是還是沒有人回答啊!我想又得仰賴大師出手了...............

2005-06-01 09:50:15 補充：
算是"對照組"吧!

2005-06-01 18:07:36 補充：
你終於出現了啊!我以為你都沒看到題目呢?不過我認為你對"同餘"很有概念,所以我覺得此題對你來說應該不難..........

2005-06-05 08:39:55 補充：
這樣喔!那就不要限定方式囉!希望大家多多討論...........

Answer 5

gaussian沒學到qq

2005-05-30 10:07:19 補充：
Copestone是研究sen吧?!

Answer 6

第一題複雜得多..(頭痛)

2005-05-29 03:18:33 補充：
如果你是知識名人，大家有問題就來問你，你會做何感想？煩到爆，是吧？

再者，知識名人未必就強。
就以數學知識名人為例吧，他回答的多是高中以下的問題，這並不是說他很弱或怎樣，但像上面的Copestone應該是能把他電爆的大強者之一
#小美猴~Ayu回答優點是有條理、前因後果交代得很清楚，可以讓大多數人看得懂，但像我就對他的回答有些意見；
我的想法是，要交代原因可以，但正文應該標示出來，而且他的解法和表達方式不夠簡鍊。

Answer 7

兩個題目解法不同?

2005-05-31 22:32:23 補充：
打滿4頁|||
要創奇摩知識史上最長的回答的回答嗎?
看到你的回答
都是數學的問題
真是厲害
雖然我已經知道我算不出來了
不過我還是很期待能看到你的答案