p是質數,且p不是2也不是5,請證明循環小數1/p的循環節最多是(p-1)位。
比方1/7循環節142857,6位數。
1/17循環節0588235294117647,16位數。
為何1/p的循環節最多就是p-1位數呢?
我知道兩種方法,但是還是想和大家討論一下,說不定有人也知道這兩種方法,甚至能有第三種方法也說不定。
2005-05-27 19:58:29 · 3 個解答 · 發問者 ? 7 in 科學 ➔ 數學
根據費瑪小定理若(a,p)=1則ap-1≣1 (mod p)因為不為2不為5的p與10互質所以10p-1≣1 (mod p)p | 10p-1-1pk=10p-1-11/p = k/10p-1-1所以1/p就是p-1位循環
2005-05-30 08:12:58 補充:
k剛好就是循環的數
2005-05-27 20:22:18 · answer #1 · answered by ? 6 · 0⤊ 0⤋
孟:
沒錯,我所知道的兩個方法一個是費馬小定理,一個就是你用的鴿籠原理,但是你似乎有點用錯了吧?!
我不是要證有某個數不斷重複,而是要證至多在第p位以前必然會開始重複,
比方說1/19的循環節為什麼不是19位數?為什麼不是20位數?或甚至更長的位數?差一點了,再想想吧!
2005-05-28 09:49:32 · answer #2 · answered by ? 7 · 0⤊ 0⤋
我會用鴿籠原理證明
鴿籠原理:
當 k 個籠子裡總共裝 k + 1 隻鴿子,其中一定有某個籠子裡的鴿子數不少於二隻。
因為 a 除以 b 所的到的餘數 r 勢必不會大於除數 b,那麼反覆除法運算所得到的餘數一定是 1 至 b - 1(至多)之間的數字。根據鴿籠原理,如果答案沒有整除而是循環小數的話,餘數由 1 到 b - 1 這 b - 1 個數中,一定有某個數不斷重覆。就像是有 b - 1 個籠子,但是鴿子卻是多的數不完的情形一樣。
2005-05-28 22:25:08 補充:
呵呵... 我沒看清楚就急著回答了... >.< 不好意思呀...
2005-05-28 08:39:05 · answer #3 · answered by dream 4 · 0⤊ 0⤋