Solve y”-4xy'+(4x^2-2)y=0 請解出

Question

Solve y"-4xy'+(4x^2-2)y=0 請解出 x 跟 y 可以嗎？謝謝！完全沒主意

我解了好幾次都失敗，打結了 >"<

Answer 1

經過初步觀察，此為二階變係數線性ODE。首先判別是否為正合，稍微新算一下很明顯的不是屬於正合型，那只好使用「因變數變換法」或是「自變數變換法」。但又因為 y的係數不夠單純，使用自變數變換法太困難，所以考慮使用因變數變換法。

由原式，令 P(x) = －4x , Q(x)= 4x^2－2

經由判別式：
Q(x)－(1/4)P^2－(1/2)P' ＝ （4x^2－2）－（4x^2）－ （－2）＝ 0 ←常數！！！

故可以令 u(x) ＝ exp{－積分［P(x)/2］} ＝ exp(x^2)
由此可令 y ＝ u(x)v(x) ＝ exp(x^2) * v(x) ........................................................(1)

將(1)式代回原ODE中做因變數變換，可得到：

v''(x) = 0

【補充：這題的判別式為「常數」，若是經過因變數推導後的結果(建議親自推導，或是演算一次！)，其實可以得到「v''＋Av ＝ R/u」這樣的固定結論。其中「A」為判別是所計算出的常數，「R」為原方程式中的常數部份，這題的R為 0】

經過計算，可得 v(x) =C1x＋C2 ...............................................................................(2)

將(2)式帶回(1)式中，故O.D.E的通解為：

y ＝ u(x)v(x) ＝ exp(x^2) *（C1x＋C2）..........................答


－－－
注一：遇到「高階」且「變係數」的ODE時，首先判別是否為柯西等維的題型。發現不是，轉向判別是否為「正合」；再不是！考慮「因變數變換法」或是「自變數變換法」，兩者方法的使用時機可以考慮「y」的係數是否單純。

注二：在「因變數變換法」中，若是「齊次」的話（例如這題就是），有稍微快速一點的解法，相信你在找有關這裡的解法時，應該會看到這個特例。如果能記的夠多，不如背起來，因為常出現。

注三：如果這題有給邊界值，題型恰巧可變化為「Sturm－Liouville」的邊界值問題。

2005-05-24 19:25:45 補充：
其實計算過後可以知道這題是經過設計過的，在判別式=0時，用反微分運算子(Heaviside rule)會快上一點，不過上述我所解的方式是比較一般的解法，若是在考場能臨時想到其他更好的方式，那就是個人的天份跟努力的成果了。

Answer 2

參考資料
我的筆記，以及O'Neil課本
↑打籃球的喔..

Answer 3

ATand 跟我算的一樣
只是我算到判別式等於0
以為0不是常數 = =
我下次不會算錯了 = =

Answer 4

為說明方便，將 -4x令為r(x)，
由觀察可得其中之一齊性解為yh= exp(x^2)
所以根據參數變易，令y2=yh×f(x)，代入原微方可得
y2=yh § (1/yh^2)×exp(-§ r(x) dx) dx （註：此處的§為積分符號，(-§ r(x) dx是在exp的次方的地方作積分，希望你看得懂，sorry！）
所以代入可得：
y2 = xexp(x^2)
∴得解為 y=c1‧exp(x^2) + c2‧x‧exp(x^2)
真的很難表達，但希望還是能給原問者適當的了解！

Answer 5

看來有人不知道這是微方
居然把'全都忽略惹

Answer 6

我在PTT的暗黑板好像也看到這題目