買77元可抽一個HELLO KITTY的磁鐵，磁鐵共有３１種款式，抽中每一種款式的機率相等（＝１／３１），則平均要花多少錢才可集滿３１款不同的HELLO KITTY的磁鐵？
2005-05-23 06:13:04 · 8 個解答 · 發問者 Anonymous in 科學 ➔ 數學
不知道誰對也.....肚肚跟Jacky算出來的答案也很大的差異:
肚肚的平均次數E=124.844，花費77*E=9613
Jacky的平均次數E=39.909，花費77*E=3073
(我有沒有算錯啊?)
到底誰對呀~~~苦惱..怎麼感覺都怪怪的...??
2005-05-26 04:32:47 · update #1
令Xi表示得到i個hello ketty 所使用的次數， i=1,...31
得到第1個所需次數X1 之分配為 B(N,P)其中N＝1，P＝31/31＝1
（因為任抽一個皆為31個中第1個），所以E（X1）＝NP＝1*1＝1
得到第2個所需次數為X2之分配為GEO(P) 幾何分配
（直到第一次成功目標才停止）
X2～GEO(P=30/31) {除了拿到與X1不同以外才停止}
E(X2)＝1/P=1/(30/31)=31/30
同理X3~GEO(P=29/31){除了拿到與X1,X2不同以外才停止}
E(X3)=1/(29/31)=31/29
同理可得出E(X4)=31/28, E(X5)=31/27......E(X31)=31/(31-31+1)=31
令Y為獲得31各個不同hello kitty的次數，Y＝ΣXi 其中i=1,...31， Xi不彼此獨立
*********************************************************************
由期望值特性得知即使隨機變數彼此不獨立，其總和的期望值=各期望值的總和
（詳見機率論）X1,X2 are random varialblew with Joint PDF f(X1,X2)
E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)
*********************************************************************
E(Y)=E(ΣXi)=(1+31/30+31/29+.....31)
期望所需花的金錢＝平均期望次數*每次花費=E(Y)*77
即為所求
P.S. E（Y）有點困難，你就將就點吧！我大學畢業已經快10年了！
2005-05-26 20:03:06 補充：
如果有修過統計學，聽過幾何分配應該就比較容易瞭解了！
2005-05-23 14:51:16 · answer #1 · answered by ? 2 · 0⤊ 0⤋
2387應該是最少的花費...
這兩天比較忙...改天再算算看...
頗有趣的...
2005-05-25 13:56:52 補充：
嗯...大概算了一下...還真的頗難的...
提供自己的想法...
假如總共31次就買齊...
機率為31/31*30/31*29/31*....*2/31*1/31=0.000000000000481736174884843000
如果32次才買齊...
則有一個重複...
剩下的31個排法的的機率同前,為0.000000000000481736174884843000
為求計算方便...令其為A
而那一個重複的...不能跟最後一個相同...因為如果相同...
則會再最後一個尚未出現時...就已經達到31個...
簡單來說..以xyz三個為例...
即假定排列順序為xyz...則如果買到第四個才完整...這個重複的第四個不可能為z
因為如果為z...不管在哪裡出現...都會在尚未買到四個就已經完全買到...
故回到原題目...重複的那一個選擇只有30個...
又...這個重複的...他所能選擇的位置...
再次以xyz說明...假如重複的是x...令其為x1與原x作區分...
則有下列情況
x1 x y z 第一種情況
x x1 y z 第二種情況
x y x1 z 第三種情況
x y z x1 第四種情況
而第一種情況與第二種情況所產生的結果都是xxyz的情形...故算一種...
而第四種情況...再買到第三個的時候...就已經完整...故不予計算...
所以總情況共有2種...即3-1種...
而回到原題目...重複的那一個...共有31-1種位置可以選擇...
而買32個...比買31個多了一個...必須考量他的排列...所以還得除以32...
因為32個的排列比31個需再分母多乘於32...
故32次買到的機率為A*30*30/32=0.000000000013548829918636200000
第一個30是重複那一個的種類...
第二個30是重複那一個可選擇的位置...
32是指排列的可能...
如果買到33個才買到完整的31種...
則多的兩個...可選擇的依然是30種...原因同上...
但因為有兩個...所以是30*30...
至於可以選擇位置...同樣用xyz來討論...
假如兩個都選到一樣的x...用x1與x2來表示...
先放x1...剛剛討論過..情況只有兩種...
即 x1 x y z (與x x1 y z 情況相同)
與 x y x1 z
先就第一種看...
則x2有下列放法...
x2 x1 x y z 第一種
x1 x2 x y z 第二種
x1 x x2 y z 第三種
x1 x y x2 z 第四種
其中第一種.第二種.第三種所展現的都是xxxyz的情況...故算一種...
故共有兩種...
而第二種情況...
則x2有下列放法...
x2 x y x1 z 第一種
x x2 y x1 z 第二種
x y x2 x1 z 第三種
x y x1 x2 z 第四種
其中第一種跟第二種一樣...都是xxyxz...
第三種跟第四種一樣...都是xyxxz...
故也是兩種...
如果兩個重複的不一樣...即一個x一個y的話...
用x1與y1作區分...
而先放x1與先放y1的情況會一樣....故誰先放沒有差別...為討論方便...先放x1...
先放x1...剛剛討論過..情況只有兩種...
即 x1 x y z (與x x1 y z 情況相同)
與 x y x1 z
再放y1...則有下列情形...
y1 x1 x y z 第一種
x1 y1 x y z 第二種
x1 x y1 y z 第三種
x1 x y y1 z 第四種
其中...第三種與第四種情況一樣...都為xxyyz...
故情況為三種...(4-1)種
第二種放y1的情況則是...
y1 x y x1 z 第一種
x y1 y x1 z 第二種
x y y1 x1 z 第三種
x y x1 y1 z 第四種
其中...第二種跟第三種一樣...都為xyyxz
故共有三種...(4-1)種
故買33個買到的機率為A*30^2*(1/30*30^2+29/30*30*29)/32/33
=0.000000000363354984181607000000
其中30^2代表選兩個...
1/30代表兩個一樣...故組合也是30*30...
29/30代表重複兩個不一樣...故組合為30*29...
/32/33則是排列變多...
接著34次的機率為0.000000010714854251715500000000
35次的機率為0.000000256534640764412000000000
36次的機率為0.000006301413011936520000000000
37次的機率為0.000144152993686348000000000000
38次的機率為0.003391171045335300000000000000
39次的機率為0.074057586576018100000000000000
超過40次的機率為0.922400520327003000000000000000
故期望值即把機率乘以所花非費用...
約等於3073.739981385550000000000000000000
由於後面部分很難用文字解釋...故僅列機率...
另外...我後來發現...7-11的遊戲規則...好像不是用抽的...
所以...基本上應該是2387元就可以收集到了...
他好像是每滿77元的單筆消費...會給兌換卷一張...
2005-05-25 09:56:52 · answer #2 · answered by ? 6 · 0⤊ 0⤋
磁鐵的３１種款式編號為1～31先討論集到1號所花的費用根據二項分配(Binomial Distribution)可知集到1號平均要買足31個HELLO KITTY磁鐵也就是花 31*77＝2387 元同理，收集2號、3號、...、31號也各要花掉2387元所以將1～31號全部收集齊須2387+2387+2387+...+2387（共31個2387）＝73997元
2005-05-23 16:58:51 補充：
7-11又大賺了
2005-05-23 12:57:17 · answer #3 · answered by 兆誼 7 · 0⤊ 0⤋
這個問題沒有你們想的那麼簡單
而是超乎你想像的不容易抽中
我們先將問題簡化 將31種類型的改成3種 則情況會怎樣
第一次抽 不用說 至少有一種類型
第二次抽 有2/3的機率抽中不同的類型
第三次抽 有1/3的機率抽中不同的類型
因此 連續三次 只有 1* 2/3 * 1/3 = 2/9 的機率抽中不同的類型
這只是一輪而已 2/9 *5 ~ 1
所以 這要抽五輪 共抽15次才有可能讓你抽到不同的類型
2005-05-23 14:14:33 補充：
現在將情況回歸
抽中的機率為 1 * 30/31 * 29/31 * 28/31 * ... * 1/31 ~ 4.817 * 10 的-13次方
這你有可能中嗎?
至於要花多少錢? 你也算的出來吧!
會把你嚇壞的!!!
2005-05-27 09:56:45 補充：
我一直是很抱歉 我一直想修正我的說明並不完全正確 只是找不到你提出的這一標題欄 現在找到了 我簡單說明
2005-05-27 09:57:41 補充：
抽中第1種款不同的HELLO KITTY
機率是 31/31 只要抽31/31次
已抽中抽中第1款不同的HELLO KITTY而要抽中第2款不同的HELLO KITTY 機率30/31 再抽31/30次
已抽中抽中第2款不同的HELLO KITTY而要抽中第3款不同的HELLO KITTY 機率29/31 再抽31/29次
......
2005-05-27 09:57:58 補充：
已抽中抽中第30款不同的HELLO KITTY而要抽中第31款不同的HELLO KITTY 機率1/31 要抽31/1次
因此 你要抽的總次數是 31/31 + 31/30 + 31/29 ... + 31/1~ 31*4 =124次 所以你要花124*77=9548
元
2005-05-23 10:13:57 · answer #4 · answered by ? 2 · 0⤊ 0⤋
31*31*77=73997(圓).......
2005-05-23 10:01:19 · answer #5 · answered by 千里不留名 7 · 0⤊ 0⤋
平均每個人買31次就集完了
2005-05-23 09:26:04 · answer #6 · answered by ? 6 · 0⤊ 0⤋
2387是最少的花費，
所以直觀上覺得：
期望值不會是2387元
這樣想好了：
期望值也就是平均值的概念，
若2387是期望值的話，
那就表示說：平均每個人只要花2387元，就能收集滿31個kitty(買31次就中31個…太強啦…)(假設每一次都剛好花77元)
若不是每個人都剛好買31次就中31個，那就是代表一定有人買的次數比31次少，就中了31個kitty…(這種事不可能發生)
所以「蘭」說的有問題…
2005-05-23 13:03:27 補充：
先分別討論恰花31次、32次、33次、34次…就搜集完所有的31個不同的kitty
2005-05-28 08:20:50 補充：
還有「比較像答案」的選法喔…
無言…
2005-05-23 08:43:35 · answer #7 · answered by 加油加油 6 · 0⤊ 0⤋
人數夠多,每個機率又相等,要收集31個,應要31*77=2387元
2005-05-23 06:37:55 · answer #8 · answered by Anonymous · 0⤊ 0⤋