因式分解題

Question

已知mn兩數滿足m^3+n^3-22^3=-66mn
且mn大於等於0
在mn為整數的情況下
數對(m,n)共有幾組可能的答案

Answer 1

將原式作因式分解可得：
m^3+n^3-22^3+66mn=0
→(m+n-22)×(m^2+n^2+22m+22n-mn+484)=0
→(m+n-22)×(m^2+44m+22^2+n^2+44n+22^2-22m-22n-mn-484)=0
→(m+n-22)×[(m+22)^2+(n+22)^2–(mn+22m+22n+484)]=0（其中484=22^2）
→(m+n-22)×[(m+22)^2+(n+22)^2–(m+22)×(n+22)]=0 (後面的部份利用十字交乘)
∴可得m+n–22=0或(m，n)=(–22，–22)
而m+n–22=0之整數解有無限多組，至於題目所謂mn大於等於0是指m×n大於等於0還是m，n均需大於等於0不甚清楚，故就兩種情形分述如下：
若m×n大於等於0，則答案會有無限多組來自於m+n–22=0及加上一組(-22，-22)
若m，n均需大於等於0，則(m，n)可為(0，22)或(1，21)或(2，20)或…（21，1)或(22，0)共23組
希望對你有幫助