一個求扇形最大面積的問題

Question

有一條繩子長k如何圍出最大面積的扇形求此時的扇形圓心角為多少?求此時的扇形半徑為多少?求此時的扇形面積為多少?

Answer 1

設圍出的扇形的半徑是r角度是A(弧度制)
則扇形的弧長為rA, 扇形面積 = r^2 *A / 2
所以 k = rA + 2r
對 rA , 2r 使用算幾不等式
得到 k = rA + 2r >= 2 根號 2r^2 *A......(^2為平方之意)
即 2r^2 *A <= k^2 / 4
扇形面積 = r^2 *A / 2 <= k^2 / 16
當且僅當 rA = 2r 時等號成立
故A = 2 時有最大面積
此時圓心角為2(弧度制)..(約為114.65度)
已知 k = rA + 2r 且A = 2 故知 k = r / 4
半徑為 k / 4
面積為 r^2 *A / 2 = k / 16
如有計算錯誤請告知^^|||

Answer 2

設半徑r 圓心角θ
弧長 = k-2r = rθ
面積 = rrθ/2 = r(k-2r)/2 = (rk-2rr)/2 = - (rr - rk/2) = - (rr - 2rk/4 + kk/16) + kk/16 = - (r-k/4)^2 + kk/16 <= kk/16
當半徑 r = k/4 時有最大面積 kk/16
此時 θ = (k-2r)/r = k/r-2 = 4-2 = 2

Answer 3

修~ 哥哥, 我的計算結果與您相同