試證數學題目。

Question

試證a3+b3+c3-3abc含有因式ａ＋ｂ＋ｃ。前面的a3、b3、c3的３是３次方。

Answer 1

a立方+b立方+c立方-3abc
=(a立方+b立方)+c立方-3abc
=(a+b)(a平方-ab+b平方)+c立方-3abc <==立方和公式展開
=(a+b)(a平方+2ab+b平方-3ab)+c立方-3abc
=(a+b)[(a+b)平方-3ab]+c立方-3abc
=(a+b)立方-3ab(a+b)+c立方-3abc
=[(a+b)立方+c立方]-3ab(a+b)-3abc
=(a+b+c)[(a+b)平方-(a+b)c+c平方]-3ab(a+b+c) <==再次立方和公式展開
=(a+b+c)(a平方+2ab+b平方-ac-bc+c平方-3ab) <==提出a+b+c因式，其實後面可以不用再做了，為了完整還是寫完。
=(a+b+c)(a平方+b平方+c平方-ab-bc-ac)
所以a立方+b立方+c立方-3abc含有因式a+b+c

Answer 2

如果只是要證a^3+b^3+c^3-3abc含有因式ａ＋ｂ＋ｃ的話，
最簡單的方法是把a=-b-c代入a^3+b^3+c^3-3abc中，看會不會等於0，
等於0則得證。

要因式分解也行，
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a^3+b^3+3a^2*b+3a*b^2)+c^3-(3a^2*b+3a*b^2+3abc)
=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)
=[(a+b)+c][(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ac-bc+2ab)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab)