數學！請好心人士告訴我詳解好嗎？？？？？ 萬分感激！

Question

（１）有一個六位數：1k31k4。它可被12整除，但不可為9整除。請問k為多少？(A)2 (B)3 (C)6 (D)9　答：C

（２）有兩個大於1並且互質得正整數，他們的最小公倍數是1961，則這兩數的合是? 90

（３）時鐘從5點15分開始，在過幾分，時針會與分針會成直角？ (A)10又9/11分 (B)43又7/11分 (C)28又7/11分 (D)27又3/11分 答：C


（４）100! + 1 為啥是質數?

（５）下列何者正確? (A)9是10!+1的因數 (B)10是9!+1的因數 (C)11是10!+1的因數 (D)12是11!+1的因數 答：C

Answer 1

1.12=2^2*3 9=3^2 則1k31k4必為4與3之倍數 但不為9之倍數
23 34 94不為4之倍數 且9+2k必為3之倍數 將6代入得9+12=21為3之倍數
故為(c)
2.設兩數k,e,且(k,e)=1 故最小公倍數為k,e相乘 1961=37*53 故兩數為37,53 相加得90
3.分針每分走6度
時針每分走0.5度
(先計算5點到6點成為90度的時間)
5點時,分針時針成150度
要縮小成為90度必須減少60度
60/5.5=600/55=120/11
但題目為15分鐘,故必須為時針與分針重疊後,再計算成為90度角的時間
故為150+90=240度
240度/5.5=2400/55=480/11
計算五點到十五分鐘再減去與時針的角度差距
90-7.5=82.5
82.5/5.5=15
480/11-15=480/11-165/11=315/11 故為(c)

剩餘的計算中

2005-04-27 21:08:37 補充：
100!+1為101的倍數?你從何得知?5注意唷,是100"階"唷

2005-04-27 22:49:54 補充：
多謝上面兩位的指導

Answer 2

100!+1老師說是質數耶!= =||| 請問您為何說不是呀??? 還有，1961也等於37*53耶! = = |||
困惑.....>"<*

Answer 3

[4]沒有為什麼，100!+1並非質數，他是101的倍數。
[5]這題可用排除法。
10!=10*9*8...*1，因為乘數裡面有個9，所以10!可被9整除，那麼10!+1被9除餘1，因此9不是10!+1的因數。
同理，9!是(2*5)的倍數，因此B也不是答案；11!是(3*4)的倍數，因此D也不是答案，所以答案是C。
這個選項如果要追根究底，可以這樣證明：
10≡(-1)(mod 11)，
9≡(-2)(mod 11)，
8≡(-3)(mod 11)，
7≡(-4)(mod 11)，
6≡(-5)(mod 11)，
5≡5(mod 11)，
4≡4(mod 11)，
3≡3(mod 11)，
2≡2(mod 11)，
1≡1(mod 11)
通通乘起來
10!≡-(5!)*(5!)≡-(120^2)≡-(121-1)^2≡-(-1)^2≡-1(mod 11)
因此10!+1可被11整除(小一點的數才可這樣，大一點的我就沒辦法了)

2005-04-27 22:24:58 補充：
100!+1為101的倍數?你從何得知?
根據某一個我不會證的定理：若n為質數，則(n-1)!+1為n的倍數。
而101是質數，所以....

2005-04-27 22:31:54 補充：
風水似月：
你確定1961=27*73嗎？如果是27*73，答案就不唯一了。