兩股差1的整數邊直角三角形

Question

有一直角三角形，三邊邊長皆正整數，而兩股長度差1，請問它的三邊長為何？
答案是有限組呢？還是無限多組？
若是有限多組，請找出所有的解；若是無限多組，請給通式。
我自己曾經算過一下，a,b,c(c是斜邊，b=a+1)寫成參數式是
a=[-1+√(2*t^2-1)]/2
b=[1+√(2*t^2-1)]/2
c=t
用Excel算，t在100以下只有(3,4,5)和(20,21,29)兩組解，但是我想知道所有的解。
謝謝囉！

Answer 1

(To Felix: 有空再討論)

aa+bb=cc
a=uu-vv
b=2uv
c=uu+vv
uu-vv-2uv=1 or -1
let p=u-v
pp-2vv=1 or -1 .... 沛兒方程式

sqrt(2)連分數 =(1;2,2,2,....)
漸近連分數:(p/v)=
1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, ...

遞迴關係: p(n+2)=2p(n+1)+pn
u(n+2)=2u(n+1)+un
v(n+2)=2v(n+1)+vn

u,v,p的特徵方程式:
rr=2r+1
r=1+sqrt2
r'=1-sqrt(2)

v0=0
v1=1
vn=(r^n-r'^n)/(r-r')
un=(r*r^n-r'*r'^n)/(r-r')
b=2uv=2(r^n-r'^n)(r*r^n-r'*r'^n)/(r-r')^2
a=b+(-1)^n

----------
p,v,u,a=uu-vv,b=2uv,c=uu+vv
1,0,1,1,0,1
1,1,2,3,4,5
3,2,5,21,20,29
7,5,12,119,120,169
17,12,29,697,696,985
41,29,70,4059,4060,5741
99,70,169,23661,23660,33461
239,169,408,137903,137904,195025
577,408,985,803761,803760,1136689
1393,985,2378,4684659,4684660,6625109
3363,2378,5741,27304197,27304196,38613965
8119,5741,13860,159140519,159140520,225058681
19601,13860,33461,927538921,927538920,1311738121
.....

Answer 2

無限多組

通式:
一股=((1+√2)^(2n+1)+(1-√2)^(2n+1)+2)/4
另一股=((1+√2)^(2n+1)+(1-√2)^(2n+1)-2)/4

Felix=叫我"壽司"的那個同學

怎麼產生的能說得清楚點嗎？
請查
(1) Pell equation
(2) 連分數
(3) 遞迴;差分方程式

2005-04-18 15:52:51 補充：
(1) Pell equation
請參考 算術講義
http://math.ntnu.edu.tw/~maco/arith.htm

37. 佩爾方程式

38. 再談佩爾方程式

(2) 連分數
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_08/index.html

2005-04-20 00:41:07 補充：
(3)遞迴;差分方程式
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_4_10/index.html

2005-04-21 00:19:17 補充：
關於pell方程式與連分數,遞迴關係的聯結,
http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.html 提到:

式1: xx-Dyy=1 (通常有解)
式5: xx-Dyy=-1 (D=4k時沒解, D=4k+1型必有解)
如果有解,都可以由連分數解出
--------
式6~27就是由連分數轉遞迴關係解題
式30~35給出了一個好玩的公式解
式38~41 推擴xx-Dyy=c的解型

有興趣的人可以研究研究
--------
式30~35給出了一個好玩的公式解:

如果我們知道 xx-2yy=1的1個非零解 (x=3,y=2)
(3^2-2*2^2)
=(3+√8)(3-√8)

令 (x+√2*y)(x-√2*y)=(xx-2yy)=1=1^n=(3+√8)^n* (3-√8)^n
==>
(x+√2*y)=(3+√8)^n
(x-√2*y)=(3-√8)^n
==>
x=((3+√8)^n+(3-√8)^n)/ 2
y=((3+√8)^n-(3-√8)^n)/ 2√2

我們就推出: xx-2yy=1有無限多解.

Answer 3

斜邊和一股差1我知道怎麼產生呀！只要a=奇數，b=(a^2-1)/2，c=b+1，我現在是想不出兩股差1的。
珊瑚先生or小姐：
你給的數值都對，可是怎麼產生的能說得清楚點嗎？到底是有限組還是無限多組呢？Felix是誰呀？謝囉！

Answer 4

兩股差一的不多啦
但是斜邊和一股差一的倒是還不少

2005-04-18 00:27:04 補充：
~^.^~