questão simples de numeros complexos?

Question

quais são as raízes complexas da eq: x elevado ao cubo + 8=0?

a raiz q eh um número complexo!!

Answer 1

Seja x=a+b.i

x²=a²+2.a.b.i-b²

x³=(a²+2.a.b.i-b²).(a+b.i)

x³=a³+3.a².b.i-3.a.b²-b³.i

grupando as partes real e imaginária, temos:

x³=(a³-3.a.b²)+(3.a².b-b³).i

como x³=-8, podemos escrever:

x³=(a³-3.a.b²)+(3.a².b-b³).i=-8+0.i

igualando a parte real do lado esquerdo com a do lado direito, temos:

a³-3.a.b²=-8

igualando a parte imaginária do lado esquerdo com a do lado direito, temos:

3.a².b-b³=0

b.(3.a²-b²)=0

desta última equação, tiramos, para valores de b:

b=0

3.a²-b²=0

b²=3.a²

b=+-a.raiz(3)

substituindo os valores de b na primeira equação:

Para b=0:

a³=-8.....a=raiz3(-8)=-2

logo a primeira raíz é -2+0.i, ou, simplesmente, -2 (raiz real).

Para b²=3.a²:

a³-9a³=-8

-8a³=-8

a³=1.....a=1

b=+-a.raiz(3)

b=+-raiz(3)

Logo as outras 2 raízes (complexas) são:

1+raiz(3)

e 1-raiz(3)

Resposta:....raiz real..-2
.....raízes complexas:
................1+raiz(3)
................1-raiz(3)

Answer 2

x³ + 8 = Zero

x³=-8

x=RaizCubica(-8)

uma raiz é claro é x=-2 e as outras duas raizez ????
são numeros na forma (a+bi) e (a-bi)

para calcular as outra raizes voce pode fatorar o Polinomio
assim : sabendo que a,b,-2 são raizes...
(x-a)*(x-b)*(x+2) = x³ + 8

ou usar BrioRuffini para obter uma equção do segundo Grau

(x-a)*(x-b)=x³+8/(x+2)

mas também tem um outro teorma de calculo que diz o seguinte ... as raizes de um p(x)=x^n + b estão dispostas
no circulo trigonométrico e distam de 360/n de angulo entre
si

Olhe como este ultimo teorema é prático .. No nosso caso n=3 .. Dai 360/3 = 120 --->>> As raizes estarão dispostas
no circulo trigonométrico e distarão 120º uma das outras

A primeira raiz foi
x'=-2 que em corrdenadas polares x=2 angulo(180)
a outras raizes serão
x''=2Angulo(60)
x'''=2Angulo(300)

o que significa
x''=2Cos(60)+i2*Sen(60) e ou
x'''=2Cos(300) + i2*Sen(300)

sendo
Cos(60)=Cos(300) = 1/2 e
Sen(60)=0,86 e Sen(300)=-0,86 Teremos

x''=1 + 2*0.86*I = 1 + 1,73i
x'''=1 - 2*0,86*i = 1 - 1,73i

Detalhe ... Se vc preferir por BrioRufini tera

(x-a)*(x-b)=x³+8/(x+2)

(x-a)*(x-b)=x² - 2x + 4

equação quadrática cujas raizes são :
x''=1 + 2*0.86*I = 1 + 1,73i
x'''=1 - 2*0,86*i = 1 - 1,73i

como deveria ser ... Verifique isto usando o Delta...

Answer 3

O mais fácil é usar a fórmula de Euler. Temos que achar as raízes cúbicas de -8 = cos 180 + i sen 180 (em graus). Assim, as raízes cúbicas de 8, que são as raízes de sua equação. estão no círculo de raio 8^(1/3) = 2, centrado na origem do plano complexo, defasadas de 180/3 = 60 graus, tendo a a primeira delas argumento de 180/3 = 60 graus.

Assim, as raízes são

x1 = 2 cis(60) = 2 (cos 60 + i sen 60) = 2(1/2 + i raiz(3)/2) = 1 + i raiz(3)
x2 = 2 cis(120) = 2 (cos 120 + i sen 120) = 2(-1/2 + i raiz(3)/2) = -1 + raiz(3)
x3 = 2 cis(180) = -2

Answer 4

(1) x³+8=0

Sabe-se que os divisores de 8 ,
São candidatos a raiz de (1)

Testando +-2 , conclui-se,
que -2 é raiz .

ou

(-2)³+8=0

-8+8=0

logo -2 serve.

Vamos baixar a ordem de (1) por B. Rufini.
Lembrando que a (1) na verdade é;

x³+0x²+0x+8=0
para efeito do dispositivo de Rufinni

ou,
multiplicando a partir de 1 por -2 e somando ao termo seguinte;
ou

1 + 0 + 0 + 8
1 - 2 +4 + 0

Então;

1 ; -2 ; +4

São os coeficientes da equação rebaixada,

A equação resultante é;

x²-2x+4=0

onde

delta=4-16=-12=-2².3

V(-12)=2V(3)i

logo

x=(2+-2V(3)i)/2

ou

x=1+-V(3)i

ou

x=1+V(3)i
e
x=1-V(3)i

Resp

As raízes complexas procuradas são;

x=1+-V(3)i , V(3)= raiz de 3

ou

x=1+-1,73i

considerando ;
V(3)=1,73

Answer 5

x=2 vezes raiz cubica de i ao quadrado!!!

Answer 6

x^3 + 8 = 0, então x = -2. neste caso não é preciso recorrer aos números complexos, pois já tenho uma resposta para o problema. Só vou procurar se o expoente for par.

Answer 7

Não é - 8 ??
Sei lá ....