高中三角函數題目...希望能有詳細的解答

Question

1. 設sinθ -cosθ= 1/√5, 求 sin2θ之值.

2.已知0度<θ<90度, cot2θ=4/3, 試求
a.cos2θ b. sinθ c. cosθ


3.試證:對於任意角θ, sin3θ=3sinθ-4sinθ立方
cosθ=4cosθ平立方-3cosθ

4.試證 cos36度 為方程式 4x立方+2x平方-3x-1=0之一根

Answer 1

1.設sinθ-cosθ=1/√5,求sin2θ之值.

(sinθ–cosθ)2=(1/√5)2sin2θ-2sinθcosθ+cos2θ=1/51-2sinθcosθ=1/5-2sinθcosθ=1/5-1=-4/52sinθcosθ=1/5-1=4/5sin2θ=1/5-1=4/5 答: sin2θ=4/5 2.已知0度<θ<90度,cot2θ=4/3,試求a.cos2θb.sinθ c.cosθ cot2θ=4/3c=√(42+32)=5 cos2θ=4/5 cos2θ=2cos2θ-1=4/52cos2θ=9/5cos2θ=9/10cosθ=+/-3√10/10(負不合) cosθ=(3√10)/10 sinθ=√(1-90/100)=√10/10 3.試證:對於任意角θ, sin3θ=3sinθ-4sin3θ，cos3θ=4cos3θ-3cosθ sin3θ=sin(2θ+θ)=sin2θcosθ+cosθsinθ=2sinθcosθ+(1-2sin2θ)sinθ=(2sinθcos2θ)+sinθ-2sin3θ=2sinθ(1-sin2θ)+sinθ-2sin3θ=2sinθ-2sin3θ+sinθ-2sin3θ=3sinθ-4sin3θ cos3=cos(2θ+θ)=cos2θcosθ-sin2θsinθ=(2cos2θ-1)cosθ-(2sinθcosθ)sinθ=2cos3θ-cosθ-2sin2θcosθ=2cos3θ-cosθ-2(1-cos2θ)cosθ=4cos3θ-3cosθ 4.試證cos36度為方程式4x3+2x2-3x-1=0之一根f(x)=4x3+2x2-3x-1
f(cos36)=4(cos36)3+2(cos36)2-3(cos36)-1
=4(cos36)3-3(cos36)+2(cos36)2-1
=cos108+cos72
=-sin18+sin18
=0
得証

不懂請問!

2007-12-29 02:08:50 補充：
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1606121311462
請參考以上網址，不錯哦!
二倍，三倍角用複數來証明，不失為一個簡便的方法。

2007-12-29 14:55:27 補充：
謝謝 GONG!
更正
=sin2θcosθ+cosθsinθ
改成
=sin2θcosθ+cos2θsinθ
請更正!

2007-12-29 14:56:11 補充：
謝謝GONG!
感恩!

Answer 2

第三題第二個等號筆誤了
應該將cosθ改為

2007-12-29 13:09:11 補充：
第三題第二個等號筆誤了
應該將cosθ改為 cos2θ