Novamente Números Complexos?

Question

Sejam n um número inteiro positivo e z um número complexo tal que (z) = 1 e 1 + z^(2n) diferente de 0.

Obs.: (z) significa módulo de z.

Calcule a parte imaginária de z^n/(1 + z^2n).

Answer 1

Em
z=r(cos t+isen t)
onde

r=modulo do complexo
t= ângulo,

vem a

Fórmula de Moivre;

z^n=r^n(cos nt+isen nt)

que para o caso

z^2n

fica

z^2n=r^2n(cos 2nt+isen 2nt)

façamos
nt=a
logo
2nt=2a
lembrando que
r=1
então
1^2n=1
logo

(1) z^n=(cosa+isena)

e
z^2n=(cos2a+isen2a)
sendo
cos2a=2cos²a-1
sen2a=2asenacosa
substituindo

(2) z^2n=(2cos²a-1+2 i senacosa)

Solução

z^n/(1+z^2n)

Substituindo (1) e (2)
A expressão dada fica

( cosa+isena)/(1+2cos²a-1+2 i senacosa)
eliminando 1 -1 , e fatorando ;
vem,

(cosa+isena)/(2cosa(cosa+isena))

simplificando
Resulta

1/(2cosa)

Onde se observa que o resultado independe de i

Resp

A parte imaginária é zero

Answer 2

Há uma forma bem simples de ver isso por geometria. No plano complexo, trace o círcilo unitário de centro na origem. Se z é um complexo de módulo unitário e argumento a, o vetor de z tem extremidade sobre o círculo e faz ângulo a com a o eixo real. Somar 1 a z^2 significa girar z de a no sentido anti-trigonométrico e deslocar o resultado de 1 unidade para a direita, paralelamente ao eixo real, obtendo z' = 1 + z^2. Então, o triângulo de vértices em 0, z^2 e z' é isóseceles, porque |z^2| = 1. Temos então que

ângulo entre 0z e 0z^2 = ângulo entre z^2 1+z e 0 +z = a. Isto siginifica que ze 1 + z^2 tem o mesmo argumento a, ou seja, um é múltiplo real do outro. A relação entre eles é real e tem parte imaginária nula.

Como, para todo n , z^2n = (z^n)^2, a conclusão vale para todo inteiro positivo n.

Fazendo um desenho, fica bem fácil ver isso

As respostas acima são mais formais. Apresentei esta para dar uma perspectiva diferente do mesmo problema.

Feliz Natal a todos!.

Editando:

Se você quiser algebricamente solução mais formal, pode fazer o seguinte:

Seja z = cis a. Então, z^n = cis(na), z^(2n) = cis (2na) e 1 + z^(2n) = 1 + cos(2na) + i sen(2na). Da Trigonometria,

1 + cos(2na) = 2 cos^2(na) e
sen (2na) = 2 sen(na) cos(na)

Logo, 1 + z^(2na) = 2 cos^2(na) + i 2 sen(na) cos(na) = 2 cos(na) [cos(na) + i sen(na)] = 2 cos(na) cis(na) = 2cos(na) z^n. Segue-se que

z^n/(1 + z^(2n) = z^n/(2cos(na) z^n) = 1/2 sec(na), ou seja, um número real. Assim, a parte imaginária de z^n/(1 + z^(2n) é nula.

Answer 3

Eu ja respondi esta pregunta. Bom aqui vai de novo:

Se o modulo de z ( | z | ) e igual a 1 entao vc pode escrever

z = e^{ i t }, com t real.

Deste jeito, z^n=e^{i n t} e z^{2n} = e^{2 i n t}.
Alem disso, conj(z)=e^{- i t}.
Lembrese que se w e complexo entao imag(w)=(w-conj(w)) / 2i
entao,
2 i imag(z^n /(1+z^(2n))) = z^n /(1+z^(2n)) - conj(z^n /(1+z^(2n)))

= (e^{i n t} / 1+e^{2 i n t} ) - (conj(z)^n / ( 1+conj(z)^{2n} ) )
= (e^{i n t} / 1+e^{2 i n t} ) - (e^{-i n t} / 1+e^{-2 i n t} )

O numerador da expressao anterior e 0, entao
imag(z^n /(1+z^(2n))) = 0.

Lembre que e^{it} = cos(t)+i sen(t)

Answer 4

Z=cos t + isen t ...
como |z|=1 ... imagine um raio de circulo unitario igual a 1
o intervalo de valores para t : 0<= t <= 2pi , pode representar
o numero complexo Z tal que |z|=1

calculemos z^2n
Z^2n = Cos( 2n*t) + iSen( 2n*t)

calculemos 1+z^2n
1+Z^2n = 1+Cos( 2n*t) + iSen( 2n*t)

Para facilitar as contas vamos chamar de
a= 1+Cos( 2n*t)
b=Sen( 2n*t)

dai
1+Z^2n = 1+Cos( 2n*t) + iSen( 2n*t) = a+ib

calculemos
Z^n = cos(nt)+iSen(nt)

Calculemos :
z^n/(1 + z^2n) =( cos(nt)+iSen(nt))/(a+ib) ... vamos dividir

cos(nt)+iSen(nt))*(a-ib)/(a+bi)*(a-bi) **dividindo por comple

cos(nt)+iSen(nt))*(a-ib)/a²-b² =

a*(cosnt)+bSen(nt) +i(aSen(nt) - bCos(nt))/(a²-b²)

[(1+cosn2n)*Cos(nt) + Sen(2nt)*Sen(nt) +
i(1+cos(2nt))*Sen(nt) - Sen(2nt)*Cos(nt)]/a²-b²

[cos(nt) + cosn(2n)*Cos(nt) + Sen(2nt)*Sen(nt) +
i(Sen(nt) +cos(2nt)*Sen(nt) - Sen(2nt)*Cos(nt)]/a²-b²

lembrado que :
cos(x-y)=cosx*cosy + senx*seny
sen(x+y)=Senx*Cosy + Seny*Cosx

[cos(nt) + cosn(2nt - nt) +
i(Sen(nt) - Sen(2nt - nt)]/a²-b²

[cos(nt) + cosn(nt) +
i(Sen(nt) - Sen(nt )]/a²-b²

2Cos(nt)/a²-b²

e portanto a parte imaginária é Zero..

p:s Dá para fazer por Euler , e obtem-se o mesmo resultado: