數學題 幫幫忙>”

Question

一個桶子裝有100加侖的鹽水，有40磅的鹽溶解在其中。現在要將鹽水的濃度降低到每加侖的鹽水含有0.1磅的鹽，於是以每分鐘五加侖的純水注入桶中，隨時攪拌均勻，且以同樣的速率讓鹽水流出來。問需要多少時間才可完成?

各位大大幫幫忙 要用微積分解!
不要太複雜的!!謝謝

ㄚ勒....有沒有其他算法
你算的倒數1~2行 太難了 我們沒有交道太深入

看可不可以用 微積分的 "簡單型""分離變數型""積分因子""正合"

其中一種算出來...3Q

Answer 1

Ans: 40(ln2)≒27.726分鐘時即可使每加侖鹽水含0.1磅的鹽
解法如下:
設第 t 分鐘時鹽水內鹽巴的含量為 x(t) 磅, 則
x(0)=40, 欲求 t=? 使 x(t)=10
(數學模式)
dx/dt 表每分鐘鹽巴的改變磅數 = 每分鐘流出去的鹽巴( 5*當時濃度), 故
dx/dt = - 5*x/100 => dx/dt = - 0.05x
解微分方程式得 x(t) = A e-0.05t
又 x(0)=40 => A=40, 則 x(t) = 40 e-0.05t
(題目) x(t) = 10 = 40 e-0.05t 取 ln , 得
0.05 t = ln 4 => t = 40ln(2) ≒ 27.726(分鐘)