關於一題數學的題目

Question

設有四個自然數，最初三數成等比級數，最後三數成等差級數，又首末兩數和為7，其他兩數和為6，则此四數由小而大為。

我的疑問：設四數為a,ar,ar的平方,兩個ar的平方減ar下去解

a+兩個ar的平方減ar=7
ar+ar的平方=6
為什麼解出來的答案跟解答的都不一樣


解答的答案是1,2,4,6

算法是：設四數為a,b,6-b,7-a

請問一下
a+2ar的平方-ar=7.....(1)
ar+ar的平方=6.....(2)

這兩的式子一定要約掉a嗎？
如果不約掉好像求出來的答案不是正確的
例如：用ar的平方=6-ar帶入(1)

因為我就是用了這種方法結果就算了很久......很久.....很久.......

Answer 1

其實這種題目你愛怎麼設就怎麼設，結果都會是一樣的
我假如下好了
a，ar，ar^2，b
則
a+b=7[1]
ar+ar^2=6[2]

2ar^2=ar+b[等差中項]
b=2ar^2-ar
代入[1]
a+2ar^2-ar=7
a(2r^2-r+1)=7=1*7
a=1[因為四個數為自然數，所以r應該是正的]
2r^2-r+1=7
2r^2-r-6=0
(r-2)(2r+3)=0
r=2, -3/2(負不合)
所以
(a,ar,ar^2,b)=(1,2,4,6)

答: 1，2，3，4

不懂請問!

2007-12-21 15:29:02 補充：
更正

答案是
1，2，4，6

寫得太爽了!

2007-12-21 16:43:55 補充：
補充一下，原來的解法

a,b,6-b,7-a

b^2=a(6-b)[等比中項]
2(6-b)=b+7-a[等差中項]
12-2b=b+7-a
3b-a=5
a=3b-5

b^2=(3b-5)(6-b)
b^2=18b-30-3b^2+5b
4b^2-23b+30=0
(b-2)(4b-15)=0
b=2, 15/4
b=15/4(不合, 非自然數)
b=2 a=1

1,2,4,6

2007-12-21 19:16:34 補充：
請問一下
a+2ar^2-ar=7.....(1)
ar+ar^2=6.....(2)
這兩的式子一定要約掉a嗎？

這個不是約掉呢!因為7那一邊根本沒有a，
a+2ar^2-ar=7
2ar^2-ar+a=7
a(2ar^2-r+1)=7因為7=1*7我是用解質數的方式解出的。

2007-12-21 19:31:36 補充：
對不起!我看錯了，如照你的式子，確實是要(1)/(2)把a約掉才算的出來。

不過用我的方法不用約掉也可以算的出來!
a(2r^2-r+1)=7=1*7
or
ar(1+r)=6而 r 跟 1+r 可以想兩成個連續自然數，必有一個偶數。
而6=1*2*3,所以r=1or2,(1不合因等比數列)，所以a=1

看你自己的臨場反應。

當然用除的把a約掉也可以。

2007-12-21 19:37:24 補充：
a+2ar^2-ar=7.....(1)
ar+ar^2=6.....(2)

ar^2=6-ar

a+2(6-ar)-ar=7
a+12-2ar-ar=7
a+12-3ar=7
-3ar+a=-5
3ar-a=5
a(3r-1)=5=1*5
a=1, 3r-1=5, r=2

也是可以。

2007-12-21 19:44:48 補充：
如果你硬要代，也可以
a+2ar^2-ar=7.....(1)
ar+ar^2=6.....(2)

ar^2=6-ar(因為兩邊都有a跟r所以有代等於沒代。)

2007-12-21 19:45:06 補充：
正確做法。
ar+ar^2=6
a(r+r^2)=6
a=6/(r+r^2)[代入(1)]
a(1+2r^2-r)=7
[6/(r+r^2)](1-r+2r^2)=7
6(1-r+2r^2)=7(r+r^2)
6-6r+12r^2=7r+7r^2
5r^2-13r+6=0
(r-2)(5r-3)=0
r=2, 3/5(不合)

Answer 2

延續你的計算:
設四數為a, ar, ar2, ar2+ar2-ar, 則
(1) a+2ar2-ar=7 => a(1+2r2-r)=7 --(A)
(2) ar+ar2=6 => a(r+r2)=6 --(B)
(A)/(B)得 (2r2-r+1)/(r2+r) = 7/6
=>5r2-12r+6=0 =>(r-2)(5r-3)=0 , r=2 or 3/5
r=2時,代入(B)=>a=1 => 四數 1, 2, 4, 6
r=3/5時,代入(B)=>a=27/20 (不合,因a為自然數)

註:(A),(B)兩個方程式,解兩個未知數a, r,就夠求出a, r, 你只差沒相除的動作而已,別灰心,加油