Alguém saberia me ajudar a repsonder essa questão, por favor!?

Question

Encontre as equações das retas tangentes à parabola y = x² que passem pelo ponto (0,1).

Answer 1

Seja esta reta tangente dada pela equação y = mx + p. Esta reta passa pelo ponto (0,1) (que não está sobre a parábola), de modo que

1 = m*0 + p => p =1

A reta tangencia a parábola em algum ponto de coordenadas (u, v). Neste ponto, a inclinação da reta iguala-se à derivada da parábola, a qual é dada por y' = 2x.

Temos assim que

2u = m
v = mu + p (pois o ponto está sobre a parábola)
v =u^2 (pois o ponto está também sobre a parábola)

Substituindo a 1a equacão ba 2a e observando que, conforme já calculamos, p =1, vem:

v = 2u^2 Considerando-se a segunda equação, concluímos que


u^2 = 2u^2 => u^2 = 0 => u = 0

Logo, v = 0, m = 2u = 0. Substituindo na 2a equação, com p = 1, conclímos que

0 = 0 +1 = 1, contradição que mostra que não hásolução. Nenhuma reta que passe por (0,1) tangencia a parábola y = x^2.

Na realidade, poderíamos chegar a esta conclusão imediatamente, pois esta parábola tem vértice em (0,0) e (0,1) está na região interior à parabola. Fazendo um gráfico, isso fica bem evidente. Mas coloquei o processo algébrico para exemplificá-lo.

Answer 2

y=x²
y'=2x

--> x=a ; y=a², m=2a --> recta tg: y-a²=2a(x-a) -->

y=2a·x +a²-2·a² --> y=2a·x - a² passa por (0,1) -->

1= -a² ¿? nao existem retas tangentes que passem por (0,1)

--------

Se fosse reta normal y-a² = -1/(2a) ·(x-a) --> 1=a² +1/2
--> a²=1/2 --> a=±√2/2

y-1/2 = -+√2/2 · (x - ±√2/2) --> y= -+√2/2 x +1

Saludos.

Answer 3

fazendo um sistema com as retas, genericamente y=ax+b
|y=x²
|1=0a+b =>b=1
|y=ax+b =>y=ax+1 substituindo na primeira:

x²-ax-1=0
Para ser tangente o delta deve ser 0:
a²-4=0
a'=2 y=2x+1
a''=-2 y=-2x+1
Não sei se essa é a resposta pis me parece que o ponto (0,1) é interno à parábola...