Seqüencia numérica...?

Question

Dizemos que uma sequencia numérica a_n de termos positivos, é subaditiva se,
a_n+m ≤ a_n + a_m

Mostre que toda sequencia subaditva tem limite na média:
lim . . .a_n / n = inf a_n
n→∞

Olha eu acho que você só provou que

. . . . . . a_n
lim - - -- - -- - - =0
m →∞ . m+ n

O que é natural! Mas não é que se busca.

Se quer uma sugestão, o argumento tipico é separar a sequencia em pedaços e olhar quando ela se aproxima do infimo, e depois tomar limites em partes da forma n_k= k m + R com R

Answer 1

Acho que estou fazendo alguma coisa errada, mas não sei aonde.

Para todos m e n, temos que

a_(n + m) - a_m <= a_n + a_m - a_m =>
a_(n + m) <= a_n

Mantendo n fixo e fazendo m variar, obtemos

a_(n +1) <= a_n
a_(n +2) <= a_n
.
.
a_(n +m) <= a_n
.
.
Isto implica que limsup a_n <= a_n. E como isto vale para todo n=1,2.3....concluimos que

lim sup a_n <= inf a_n, o que, por sua vez, implica que lim a_n = inf a_n. E isto implica que lim (a_n)/n = 0.

Acho que há algo errado.

Answer 2

Añ??????