大學微積分

Question

1.
某人向工廠訂做了一個容積為1000立方公寸的鐵製無頂容器
若底部為方形,因空間關係
底邊最常不得超過8公寸
且底部每平方公寸價格為10元
四邊的價格每平方公寸為0.625元
請問容器的底邊何高
各為多少可使容器成本最小?

2.
請找出函數

y=f(x)=x^4 - 2x^2 +2 的相對極值及反曲點的座標位置?


4.
令y=2x^2 +3x - 5 , x=3t^2 - 1

求 dy / dt 及 d^2 y / dt^2 | t=0

Answer 1

1.
設底正方形邊長x, 高h (公寸) , x<=8
(1)容積=x2h=1000 => h=1000x-2
(2)成本f(x)=10x2+4xh*0.625=10x2+2500x-1
(3)f'(x)=20x-2500x-2 =20x-2(x3-125)
=>x>5時f(x)遞增, x<5時遞減
故x=5時(h=40), 成本最小
2.
(1) f'(x)=4x3-4x = 4x(x2-1)=4x(x+1)(x-1)
=> x>1 or -1 => x=1, -1時 f(x)=1為相對極小值(也是絕對極小值)
=> x=0時f(x)=2為相對極大值
(2) f"(x)=12x2-4=4(√3 x+1)(√3 x -1)
=>x=1/√3 or -1/√3 時曲線有反曲點(1/√3, 13/9)
4.(沒有第3題)
(1) t=1, x=2
(2) dy/dt = dy/dx * dx/dt = (4x+3)*6t = 6t(12t2 - 1 ) =72t3-6t
=> t=1時 dy/dt=66
(3) d2y/dt2 = 216t2-6 => t=1時得 210