Como mostrar a existência de subconjunto de A com a propriedade do valor intermediário?

Question

Acho este problema interessante. Eu tenho uma solução, mas talvez haja uma melhor:

Mostre que, se A é um subconjunto não enumerável de R, então A contém um subconjunto com a propriedade de que, se s1 e s2 são elementos quaisquer de S, então existe s3 em S compreendido entre s1 e s2.

Para evitar soluções verdadeiras no vácuo, assuma que S contém pelo menos 2 elementos (senão qualquer subconjunto do tipo {s} atenderia por vacuidade).

A minha prova basoui-se m pontos de condensção. Dizemos que x é ponto de condensação de A bilateral se, para todo eps >0, (x- eps, x) e (x, x + eps) contiverem uma quantidade não enumerável de elementos de A. Sabemos que S = {conjunto dos pontos de condensação bilaterais de A} Inter A não é enumerável, se A não for enumerável. Tenho uma prova disto, posso apresentar depois.
O conjunto S satisfaz ao desejado. De fato, suponhamos que s1 e s2 estejam em S (não sendo S enumerável, S é infinito e tais elementos existem) e seja 0 < eps < s2- s1.
Temos que (s1, s1 + eps) Inter A não é enumerável e desta forma possui pontos de condensaçao bilaterais a ele pertencentes. É imediato que tais elementos são também pontos de condensação bilaterais de A que pertencem a A, logo estão em S. E pela escolha de eps, estão em (s1, s2), conforme desjado. Na realidade, isto prova que entre s1 e s2 há uma quantidae não enumerável de elementos de S.

Na pergunta em http://answers.yahoo.com/question/index;_ylt=AiIJp41Ma4ni_sOh.AnJaR7J6gt.;_ylv=3?qid=20070326151241AAxToH1

em detalhes adicionais, eu dei minha prova de que, se A é um subconjunto não enumerável de R, então o conjunto dos pontos de condensação bilaterais de A que pertencem a A não é enumerável. Está em Inglês, porque foi na seção americana

Answer 1

Acho que minha demonstração vai ser bem deselegante mas não me ocorreu nada bonito :-(

Suponha falsa a afirmação.

Defina
A-= { pontos de acumulação à esquerda de A} ∩ A
A+= { pontos de acumulação à direita de A} ∩ A

Defina B=A-∩ A+. Se B é não vazio, B é o subconjunto procurado. Então B é vazio, ou seja, para todo aЄA vale:
1)a é isolado ou
2)a só acumula à esquerda ou
3)a só acumula à direita.

Agora fixe um intervalo fechado [k, k+1] para kЄZ.

Procedemos por indução nas partiçoes deste istervalo:
Primeiro existe x0 Є [k, k+1] isolado de A. Defina
A0=[k, x0-ε1] e A1=[x0-ε1, k+1], (talvez un seja vazio!)

Então [k, k+1]∩ A= (A0∩ A) U (A1∩ A)

Repita o procedimento em cada [k, x0-ε1] , [x0-ε1, k+1] obtendo A00,A01,A10,A11 e portanto
[k, k+1]∩ A= (A00∩ A) U (A01∩ A) U(A10∩ A) U (A11∩ A)

Afirmamos que cada Ai_1i_2i_3.... se torna vazio para algun indice ou, se torna constante. De fato, se Ai_1i_2i_3.... codifica um ponto de a, então se este ponto for isolado o intervalo Ai_1i_2i_3.... temque ficar vazio para algum indie suficientemente grande. Por outro lado se ele é ponto de acumulação só lateral, então a sequencia de indices não pode alternar indefinidamente, devendo tornarse constantes 00000... ou 1111.... para um indece grande o bastante.

Sendo assim, o conjunto [k, k+1]∩ A está em correspondencia com as sequencias finitas de 0 e 1, ou infinitas mas com repetição de 00000.... ou 1111.... a partir de um certo indice. Mas este conjunto de sequencias é claramente enumerável. Logo [k, k+1]∩ A é enumerável. Tomando a união de [k, k+1] em Z teremos A enumerável contradição!!!!!

Puxa esta foi feia né? Depois escreva sua prova como detalhes adicionais.

Abraço.

Answer 2

Puxa, acho que esta é a melhor, até pq não consegui pensar em outra ....

Bjux ^.^