2題數學題

Question

ax^3+bx^2+cx+d=0




ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0




如題

Answer 1

關於一元三次方程式的公式解，
在1545年義大利數學家卡當諾在他所出版的一本代數書中公佈。

所謂的一元三次方程式，一般可以寫成
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作變數變換，則方程式變為


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式中令
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則方程式將成為
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的形式。



上述的過程被稱為「移根」，移根的目的在於消掉平方項，使計算更趨於簡便。



卡當諾(Girolamo Cardano，1501-1576)是義大利米蘭大學的數學教授`，根據歷史的記載，他從數學家塔塔利亞(Tartaglia，1499-1557)手中拿到三次方程式的解法，並將它公諸於世。



卡當諾在解
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時，他利用了下面的恆等式




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令
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如果s，t有解，那麼
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滿足

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若令
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乘開後得到




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即為




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故求此二次方程式的解，即是求
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的解，



即
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於是得到




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此即為卡當諾公式。




一元四次方程式的公式解，是由Cardano的學生法拉利(Ferrari 1522−1565)所提出。



將一般四次方程



ax4 bx3 cx2 dx e=0



每項除a，得到：



x4 (b/a)x3 (c/a)x2 (d/a)x (e/a)=0



移項，得到：



x4 (b/a)x3=-(c/a)x2-(d/a)x-(e/a)



在等式兩端同時加上(bx/2a)2，進行配方。




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再在該式加上
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上式右端是一個關於x的二次三項式。適當選擇y，使這個二次三項式也能寫成完全平方式。
這是不難的，只要y能滿足下面的等式：




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就可以，這是一個關於y的三次方程。



這樣，費拉里把解四次方程的問題歸為解一個三次方程和兩個二次方程的問題。



利用二次方程和三次方程的求根公式，四次方程的根可以直接用方程的系數表示出來。
奈何這樣的求根公式很複雜，所以人們沒有把它寫出。

Answer 2

問啥