Como calcular passo a passo o seno, cosseno, tangente, secante e cossecante de um angulo? por exemplo de 5°?

Answer 1

Há a opção de calcular por desenvolvimento de série de Taylor, mas os valores só se aproximam do valor exato depois de muitos termos e só fica viável por computador.
Outra opção, se você não for muito exigente quanto a precisão, seria calcular o valor do comprimento do arco de um ângulo bem pequeno, que é aproximadamente igual ao seu seno e, a partir daí, aplicar a fórmula de soma de ângulos. Por exemplo, vamos começar pelo seno de 1 grau.
O comprimento do arco de 1 grau é igual ao seu valor em radianos (para raio igual a 1):

1 grau= 1.PI/180=0,0174532292, que é aproximadamente igual ao sen(1)=0,017452406.

Considerando sen(1)=0,017453, podemos calcular o cos(1):

cos(1)=raiz[1-sen²(1)]=0,999847684 que é aproximadamente igual a cos(1)=0,999847695.

Considerando sen(1)=0,017453 e cos(1)=0,9998476, podemos calcular sen(2):

sen(2)=2.sen(1).cos(1)=0,034900683

que é aproximadamente igual a sen(2)=0,034899496

cos(2)=raiz[1-sen²(2)]=0,999390785

sen(4)=2.sen(2).cos(2)=0,069757

cos(4)=raiz[1-sen²(4)]=0,997564

sen(5)=sen(4+1)=

=sen(4).cos(1)+sen(1).cos(4)=

=0,087156853

que é aproximadamente igual ao sen(5) calculado na máquina (0,087155742).

cos(5)=raiz[1-sen²(5)]=0,9961947
tan(5)=sen(5)/cos(5)=0,0874889
sec(5)=1/cos(5)=1,00381984
cossec(5)=1/sen(5)=11,4737

É trabalhoso, mas dá para calcular.

Answer 2

Existem várias formas. Vou passar duas delas.

A primeira usa os polinômios de Taylor das funções trigonométricas. Num curso de Cálculo, você poderá aprender que podemos escrever certas funções como uma soma de potências mais o erro de uma função.

Por exemplo, pode-se provar que

f(x) = sen x (x é um número real - tem de ser dado em radianos)

pode ser escrito como

f(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ... + (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)! + Rn(x),

onde n é um natural não-nulo.

Todos os fatores da parte à direita menos o último formam um polinômio de grau 2n+1. O último fator depende do número n e do número x.

Podemos mostrar também que o termo Rn(x) decresce com n crescente, e que ele vai para 0 quando n é muito grande. Esse termo é conhecido como o erro, pois é exatamente a diferença do valor que o polinômio fornece para o valor real da função.

Assim, temos um método para calcular numericamente o sen x. Para isso, escolhemos x. Por exemplo, x = 1 rad. Depois escolhemos um valor de n. Quanto maior n, menor vai ser o Rn(x) e menor vai ser o erro que vamos cometer. Por exemplo, podemos escolher n = 2.

Logo, sen 1 = 1 -1/6 + 1/120 = 0,84166667

Utilizando uma calculadora, vemos que com mais casas, sen 1 = 0,8414709... . Vemos que o erro cometido é pequeno.

O cosseno também pode ser trabalhado dessa forma. Para as outras funções, lembramos as identidades trigonométricas para escrevê-las em termos de senos e cossenos, e usamos os resultados obtidos.

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O outro método é uma aplicação esperta das identidades trigonométricas.

Conhecemos a seguinte fórmula para adição de ângulos:

sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a
sen (a - b) = sen a cos b - sen b cos a
cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b
cos (a - b) = cos a cos b + sen a sen b

Se a = b, obtemos a fórmula do arco dobro:

sen 2a = 2 sen a cos a.
cos 2a = cos^2 a - sen^2 a.

Queremos saber o seno de 5°. Vamos assumir que a gente saiba o seno e cosseno de 30° , 45° e 60°, pois para esses é fácil saber o valor exato.

Agora, sen (15°) = sen (45° - 30°). Utilizando as fórmulas acima, sabemos exatamente quanto vale sen (15°). Igualmente, podemos calcular o cos (15°).

Agora, temos que

cos (2*7,5°) = cos (15°). Utilizando as fórmulas acima, podemos calcular o cos e sen de 7,5°. Repetindo esse truque, obtemos o sen e cos de 3,75°. Repetindo esse truque n vezes, podemos obter o cos e o sen de 7,5° / 2^n.

Agora, sabemos que do estudo da série geométrica que

2/3 = 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 +...

Portanto,

2/3 * 7,5° = 5° = 7,5° - 3,75° + 1,875° -...

Assim, fixamos um valor de n. Por exemplo, n = 3. Então, vamos aproximar sen 5° por.

sen 5° = sen (7,5° - 3,75° + 1,875°). Como já calculamos os senos e cossenos de 7,5°, 3,75° e 1,875°, podemos calcular uma aproximção para o seno de 5° usando as fórmulas de adição várias vezes.

Espero ter ajudado!

Answer 3

por Cálculo Diferencial

até lá só Calculadora ou Comp. ou tabelas.

edson

Answer 4

É so consultar a tabela de razões trigonométricas existebte no seu livro