Polinômios?

Question

Seja p(x) = x3 + ax2 +bx + 2 um polinômio em que a e b são números inteiros. Sabe-se que 1 + v2 ( um mais raiz de 2) é uma raiz de p(x).

1) Determine os coeficientes a e b.

2) Determine todas as raízes de p(x).

Answer 1

Como os coeficientes de P são inteiros, raiz(2) é irracional e 1 + raiz(2) é raiz de P, segue-se de conhecido teorema da Álgebra que 1 - rai(2) é raiz de P. Sendo r a terceira raiz, temos pelas relações de Girard que

r * (1 + raiz(2)) * ( 1 - raiz(2)) = -r = -2/1 = -2 => r =2.
Assim, a perguta (2) está respondida

Também pelas relações de Girard,

2 + 1 + raiz(2) + 1 - raiz(2) = 4 = -a/1 = -a => a = -4.

Como 2 é raiz de P, P(2) = 0. Logo

8 -4*(4) + 2b + 2 = - 6 + 2b = 0 => b = 3.

Logo, P(x) = x^3 -4x^2 + 3x + 2 , respondendo (1)

Answer 2

Seja p(x) = x3 + ax2 +bx + 2 um polinômio em que a e b são números inteiros. Sabe-se que 1 + v2 ( um mais raiz de 2) é uma raiz de p(x).

1) Determine os coeficientes a e b.

2) Determine todas as raízes de p(x).

Answer 3

Se 1 + √2 é raiz --> 1- √2 raiz --> produto= -2 -->

x1= 1 + √2
x2= 1 - √2
x3= 2

--> Soma=4 --> a=-4
b=-1+2+2=3

-->p(x)=x³-4x²+3x+2

Saludos.