Como mostrar que esta seqüência é densa no conjunto dado?

Question

Seja f:R --> R uma função contínua e periódica em R cujo período fundamental p é irracional. Seja x_n uma seqüência monotonicamente crescente de termos positivos tal que x_n --> oo e (x_(n+1) - x_n) --> 0. Mostre que f(x_n)) é densa em f([0, p]).

Casos particulares: sen(ln(n) e cos(ln(n) são densas em [-1, 1]

Answer 1

Caro Steiner, suas perguntas são sempre interessantes mas via de regra me tomam mais tempo do que eu gostaria e acbo não fazendo! esta não é exceção. Entretanto vou aportar alguns comentários que acho extremamente relevantes:

Este problema me lembra em muito a Teoria de Denjoy para homeomorfismos do círculo.

Usualmente em matemática problemas periódicos podem ser compactificados (que é uma boa coisa por motivos óbvios). Neste caso fazemos o quociente de R por pZ, e obtemos o intervalo compacto [ 0,p] (na teoria de Denjoy você cola os extremos e identifica com o circulo, mas tem coisas muito apuradas ai devidas a Poincaré, e problemas abertos até hoje interessantes), onde 0~p. Este quociente é simples : x~y se x= y + k p.
A periodicidade f permite definir g([ x] )=f(x) no quociente uma função continua na seguinte metrica:
d([x ] , [y ] )= min { |x-y|, p- |x-y| }.

Outro dia o amigo Adrian perguntou:
Seqüência satisfazendo a |x(n +1) - x(n)| --> 0, como provar o seguinte?
Suponhamos que esta seqüência esteja em um subconjunto compacto de R^n. Mostre que o conjunto dos pontos de aderência de x_n é conexo.

Se você olha a minha prova vai ver que ela é perfeitamente válida num espaço métrico compacto, logo vale aqui, pois podemos escrever:

x_n= k_n * p + t_k, com 0≤t_k
então é facil ver que

d([x_k ] , [x_k+1 ] ) → 0

Logo os pontos de acumulação formam um conexo, que na reta só pode ser um intervalo!!!

Assim, ou o conj. de acumulação de t_k forma todo intervalo [ 0,p], ou sua afirmação é falsa, pois se formar um intervalo menor, eu mantenho f igual ai e mudo f fora (é só continua) amentano a imagem, e acabou.

A conclusão é que tem que provar que t_k é densa em [0,p] independente de f (alias esta conclusão ainda seria verdadeira mesmo que tudo o que eu disse estivesse errado), isto é bem estranho. Mas eu não sei provar de cabeça agora.

Abraço.