Polinômios?

Question

Polinômios palindromicos, são polinômios em que os coeficientes equidistantes dos extremos são iguais.

Exemplo:

a)2x³ -5x² -5x +2
b) x^5 -2 x^4+789 x -2 x + 1
c) x³ +x²+x+1 (e qualquer ciclotomico)

Mostre que se

P(x)=a_n x^2n + a_n-1 x^(2n-1) +...+a_n-1 x + a_2n

é palindrômico de grau 2n, todas suas raizes reais ou complexas tem módulo 1 se e somente se seus coeficientes a_k verificam |a_k| ≤2.


Dica, se z é raiz de P então, conjugado de Z, 1/z e 1/(conjugado de Z) também são!!
Ou seja as raízes de P vem às quadruplas.

b) x^5 - 2 x^4 + 789x³ + 789 x² - 2 x + 1

Pensem primeiro no caso mais simples:

Grau 2:

ax²+bx+a, com a,b em R.

Steiner:

Tem razão, acho que me esqueci dos detalhes, provavelmente a condição que falta é:

P(x), monico, de grau par, , 2≤2n, palindromico.
Desculpe a confusão, acho que agora, pelo menos em grau 2 fecha a prova.

Isto é uma conjectura não demonstrada com que me debati a alguns anos, tem origem num problema de analise numerica onde certa sequencia de determinantes a um parametro leva a considerar polinômios palindromicos de grau 4n, monicos. E a estabilidade do sistema dependia do modulo das raizes ser 1. Ainda a condição |z|≤2 mostrou ser verdadeira em simulações numéricas!

Na verdade dependia de as raizes estarem dentro do disco unitário (raio espectral ≤ 1), mas você pode perceber que para palindromicos, se tiver uma raiz de módulo estritamente menor que 1, então 1/z tem modulo maior que 1, então eu reformulei a pergunta pedindo modulo igual a 1.

Onde le-se:
Ainda a condição |z|≤2 mostrou ser verdadeira em simulações numéricas!
Leia-se:
Ainda a condição |a_k|≤2 mostrou ser verdadeira em simulações numéricas!

Answer 1

Começando pelo polinômio do segundo grau P(x) = ax²+bx+a, com |a| <=2 e |b| = 2, a e b reais.

Se b² < 4a² o polinômio tem 2 raízes complexas (não reais e distintas), que são os conjugados

z' = (- b + i raiz(4a² - b²))/(2a) e
z" = (- b - i raiz(4a² - b²))/(2a)

Temos então que |z'| = |z"| = (b^2 + 4a² - b²)/(4a²) =(4a²)/(4a²) = 1, como desejado, quaisquer que sejam a e b reais (claro, a não nulo).

Se , b² = 4a² temos uma única raiz, real (ou 2 iguais, se considerarmos a convenção da multiplicidade), dada por z = -b/(2a). Mas como b = 2a ou b = - 2a, segue-se que z =1 ou z = -1 e que |z| = 1. Mesmo que as desigualdades de valor absoluto não sejam satisfeitas.

Mas se b² > 4a², ocasionando 2 raízes reais, eu fiquei na dúvida. Consideremos P(x) = 0,5 x² - 2x + 0,5, que atende às condições do problema. Palindrômico, coeficientes com valores absolutos <=2. As raízes são 2 + raiz(3) e 2 - raiz(3) e nenhuma tem valor absoluto 1, nenhuma é 1 ou -1.

Também fiquei confuso na recíproca, isto é se P é palindrômico com raízes de valor absoluto 1, então multiplicando P por uma constante real ou complexa podemos obter um polinômio com exatamente as mesmas raízes e cujos coeficientes tenham valor absoluto arbitrariamente grande.

Serão que não há uma restrição adicional de que P deva ser mônico, por exemplo?

mas vou pensar mais, é um problema muito bonito.