Esta afirmação sobre a função f é verdadeira?

Question

Consideremos a afirmação: Se f:[a,b] -->R (a e b em R) é contínua e f(a) < f(b), então [a, b] contém um subintervalo no qual f é estritamente crescente.

Isto é verdade? Não consegui ainda provar nem dar um contra-exemplo.

E se, em vez de estritamente crescente, admitirmos apenas f monotonicamente crescente?

Agradeço qualquer sugestão

Answer 1

Oi,

eu acho que precisaria de adicionar uma condição de variação limitada. Tipicamente o que vai acontecer , se não existirem intervalos de monotonicidade, é que em cada subintervalo de uma partição de [a,b], f terá de crescer e decrescer (ou o contrário) só ai voce adiciona mais duas parcelas à soma das variações, se f for de variação limitada voce pode controlar estas mudanças e obrigar a f a ser monótona refinando a partição(eu acho). Por outro lado eu acredito que possa haver uma f continua mas obrigatoriamente de variação ilimitada que não tem intervalos de monotonicidade.

Outra possibilidade é troca a continuidade pos continuidade absoluta.

Mas inda não fechei questão sobre isto, respondo em breve.

Abraço.

EDITANDO:

Sugestão:

Considere a relação de equivalencia ~ em [a,b], dada por:
[ x] ={yЄ [a,b] | f(y) =f(x) } e toma o quaociente [a,b]/~

Agora toma a familia G de subconjuntos compactos de [a,b]. Então, para cada K em G defina a classe condicional:
[ x | K] ={yЄK | f(y) =f(x) }

Acontece que um intervalo de monotonicidade de f é equivalente à existencia de uma classe singular para algum x. Ou seja, que [ x | K] ={ x} ≠ K.

Talvez a continuidade de f implique na existencia de tal classe. Mas ainda não é a solução.

Mas posso fazer o seguinte, toma c se [ b | [c;b]] ≠ {b} para todo c, afirmamos que [ b | [c;b]] não pode ser denso em [c;b], do contrario f sera constate e portanto estaria resolvido o problema. Tome z em [ b | [c;b]] ponto isolado, isto implica que, sem perda de generalidade, em [z-δ; z] , f(x) > f(z) .

Note que, [ z | [z-δ; z] ] ={z}. Tome R= f(z)-ε , então é facil ver que se ε é sucientemente pequeno,
[ u | [z-δ; z] ] ={u} para algum u tal que f(u) Є [f(z)-ε, f(z)], pela continuidade de f.

Pela observação acima, f é monótona no [z-δ; z].

Obs: Não deixe minha argumentação engana-lo, tem que checar se tudo isto é verdade.

Answer 2

se considerarmos o intervalo [a,b] entao é lógico que b>a

represente agora f(a) e f(b) sendo que f(a) < f(b) e una essas duas imagens da forma que quiser.

visto que a função é continua ha sempre uma altura em que essa linha que vai ter uma altura em que sobe sempre, sendo que nesse intervalo, que pode ser menor que [a,b], a função é estritamente crescente.

no entanto, dependendo da função pode não ser sempre crescente

Answer 3

verdadeira

Answer 4

Eu ACHO que é verdade...