Como mostrar que |sen x + sen 2x + ..... sen nx| <= |csc (x/2)|?

Question

Para todo n = 1, 2, 3,....... sempre que x näo for múltiplo inteiro de 2pi.

Answer 1

Respondo amanhä. Estou num lugar sem computador, só acesso a Net pelo celular.

Uma forma de mostrar isto é na linha que o Collector sugeriu. Acredito que seja a forma mais fácil, embora seja possível por transformações trigonométricas.

Meu processo é muito parecido com o dele.

Temos que sen kx é a parte imaginária de exp(i kx). Assim, sen x + sen 2x +....sen nx é a parte imaginária de exp(ix) + exp(i2x).....exp(inx), a qual é a soma dos n primeiros termos de um PG cujo termo inicial é exp(ix) e cuja razão é também exp(ix). Segue-se, pela conhecida fórmula da PG, que sen x + sen 2x +....sen nx = Im(exp(ix) + exp(i2x).....exp(inx)) = Im [exp(ix) (exp(inx) - 1)/(exp(ix) -1)], para x não múltiplo inteiro de 2pi

Para todo complexo z, temos que |Im(z)| <= |z|, de modo que

|sen x + sen 2x +....sen nx| <= |[exp(ix) (exp(inx) - 1)/(exp(ix) -1)]. Como |exp(ix)| =1, segue-se que |sen x + sen 2x +....sen nx| <= |[(exp(inx) - 1)/(exp(ix) -1)] = |exp(inx) - 1|/|exp(ix) -1)| .

|exp(inx) - 1| = |cos nx -1 + i sen nx| = raiz(cos^2 nx - 2 cos nx + 1 + sen^2 nx) = raiz(2 - 2 cos(nx)) = raiz(2(1 - cos nx)) = raiz(sen^2 nx/2) = |sen nx/2| =1 para todo n e todo x.

Analogamente, |exp(ix) - 1| = |sen( x/2|. Desta forma

|sen x + sen 2x +....sen nx| <= |sen( x/2| = | csc x/2|, válida para todo n e todo x. Mesmo que x = 2kpi, pois neste caso os termos da série são todos nulos.

Por um raciocínio similar vemos também que

|cos x + cos 2x...cos nx| <= | csc x/2|, para todo n e, agora, para x<> 2kpi, Se x = 2 k pi, neste caso os termos da série são todos 1 e a mesma vai para oo.

Isto mostra que as séries Soma sen nx, para todo x, e Soma cos nx, para x<> 2kpi, são limitadas, embora divergentes.

Esta conclusão, alida ao critério de Dirichilet para convergência de séries leva à interessante conclusão de que, se a_n é uma sequência que decresça monotonicamente para 0, então, para os valores de x já mencionados, as séries

Soma a_n sen nx e Soma a_n cos nx são convergentes. Ou seja, as séries de funçoes de x convergem.

Answer 2

Não deve ser a maneira mais brilhante, mas vc pode escrever os senos como exponenciais, pela fórmula de Euler. Ou seja,
sen(nx) = (e^inx - e^-inx)/2
Para calcular a soma, vc emprega a formuleta lá da pg
Sn = a0(q^n-1)/(q-1)
onde a0 é o primeiro termo e q é a razão. Aplicando essas relações fica
sen(x)+...+sen(nx) = (e^ix)/2 * ( e^inx - 1 )/(e^ix -1) -
(e^-ix)/2 * ( e^-inx - 1 )/(e^-ix -1)
e, claro que a soma vale somente quando
e^ix <> 1 ==> x<>2kpi, k inteiro
e o mesmo para e^-ix <> 1.

Dá prá continuar daqui ou vc quer as manipulações algébricas? :)

^^
Puxa, Steiner. Por transformações trigonométricas deve ser bem sacal. No final a manipulação fica tão difícil que acho que até fica mais obscuro.
Eu realmente não tive tempo de ficar manipulando as expressões acima mas a soma fornece um resultado exato, algo similar a sin[(n+1/2)x]*sin(nx/2)/sin(x).

Answer 3

nessa eu ñ posso ajudar......... terminei o colegio ano passado, graças a Deus nunca + verei isso........