數學問題 數學問題 要詳解

Question

第一題 2n^2+n和3n^2+2n+1的最大公因數



第二題 a^3-b^3=ab+61
求a和b所有解
a和b為整數

Answer 1

一. 最大公因數=3
設最大公因數為d,

(1) d | 2(3n²+4n+2)-2(2n²+n) => d | (n+2)

(2) d | (n+2), d | (2n²+n)=> d | [(2n²+n)-(2n-3)(n+2)] => d | 6
d只可能為1, 2, 3, 6

(3) 2n²+n=n(2n+1),
n為偶數時, n(2n+1)為偶數, 而3n²+2n+1為奇數 => 無公因數2
n為奇數時, n(2n+1)為奇數, 而3n²+2n+1為偶數 => 無公因數2
故最大公因數d只可能為1或3

(4) n=1時, 2n²+n=3, 3n²+2n+1=6 ==>最大公因數=3

二. (a, b)=(6, 5)或(-5, -6)

(1)a-b=1,原因如下:

設a-b=k(為整數),代入a³-b³=ab+61得
(3k-1)b²+k(3k-1)b+(k³-61)=0
而b為上面二次方程式的整數根,則(判別式=完全平方數)
k²(3k-1)²-4(3k-1)(k³-61)=完全平方數>=0, 且k為整數
=>(3k-1)(244-k³-k²)>=0
(勘根定理)=>k=1,2,3,4,5
又k=2,3,4,5時,上述之判別式不是完全平方數(請自行檢驗)
故a-b=k=1

(2)求a, b
a-b=1=>a=b+1再代回原式a³-b³=ab+61,得
2b²+2b-60=0=>b=5, -6
a=b+1=6, -5

故共有兩組解(a, b)=(6, 5)或(-5, -6)

2007-12-08 03:23:24 補充：
第一題之最大公因數,只有兩個可能, 1或3(均可能)
故最大公因數應選3

2007-12-08 13:31:17 補充：
1. 題目問(3n²+4n+2)與(2n²+n)的最大公因數,並未指明是所有的n均適用,或某些n,因此我覺得題意不明

2. 你的想法是所有n均適用,則最大公因數=1
我的想法是可能的最大公因數,因此選擇 3

3. d | 2(3n²+4n+2)-2(2n²+n) => d | (n+2) ?
Sorry! 打錯字了,應該是
d | 2(3n²+4n+2)-3(2n²+n) => d | (n+2)

謝謝!

2007-12-08 13:32:22 補充：
你的題目很難! 須要解這麼難的題目嗎?

2007-12-08 13:42:36 補充：
Sorry!還是打錯了(沒帶眼鏡)
應該是:
d | 2(3n²+2n+1)-3(2n²+n) => d | (n+2)

謝謝樓上大大的意見!

Answer 2

第一題 2n^2+n和3n^2+2n+1的最大公因數
2n^2+n=n(2n+1)
3n^2+2n+1=3n^2+2n+1

因為沒有相同的因式，所以最大公因數為1.
用展轉相除法，也得到是1。

答: 1

第二題 a^3-b^3=ab+61
求a和b所有解
a和b為整數
a^3-b^3=ab+61
(a-b)(a^2+ab+b^2)=ab+61
有兩種可能
第一種可能:
a-b=ab+61
a^2+ab+b^2=1
但
a^2+ab+b^2
=(a+b/2)^2+3/4b^2>0
也會>1(因為a,b都是整數，而且b不能為奇數，所以a^2+ab+b^2=1這個式子不成立)

第二種可能:
a-b=1
a=b+1
a^2+ab+b^2=ab+61
a^2+b^2=61
(b+1)^2+b^2=61
b^2+2b+1+b^2=61
2b^2+2b-60=0
b^2+b-30=0
(b+6)(b-5)=0
b=5, or -6
a=6, or -5

答:a=6, b=5 或 a=-5, b=-6

不懂請問!

2007-12-08 08:12:04 補充：
請問樓下的第一題真的是這樣解嗎?老實講，我當然知道，n=1時3跟6的最大公因數為3，但當n=2時，10跟17，最大公因數=1，像這樣的題目，真的只要有一些特例就可以了嗎?我當然有算出，在某些情況下會有3的公因數，但大部分的情況都是=1，因為我的觀念一直以為應該在任何情況下皆成立才對，這或許是我不解的地方，願聽您的高見。

2007-12-08 08:15:39 補充：
菩提請問您:

您說1，3皆有可能，但3不是全部成立，1卻是全部成立，請到底是要選1還是選3?

2007-12-08 10:27:36 補充：
(1) d | 2(3n²+4n+2)-2(2n²+n) => d | (n+2)
可以請問上面這個式子怎麼來的嗎?

2007-12-08 10:34:37 補充：
n=2n^2+n 3n^2+2n+1公因式
1 3 6 3
2 10 17 1
3 21 34 1
4 36 57 3
5 55 86 1
6 78 121 1
7 105 162 3
8 136 209 1
9 171 262 1
10 210 321 3

2007-12-08 10:38:43 補充：
我得到的結論是當
n=3k+1時,最大公因數為3,
n=3k+2跟n=3k+3時最大公因數為1,
而3跟1的最大公因數為1,
所以我還是認為應該是1.

2007-12-08 15:48:21 補充：
謝謝菩提的回答。

有時候問題不在答案，而在過程，所以第一題，答案並不重要，重要的我們曾經做過，而且能得到結果。

只要題意再清楚一點，答案就正確了!

謝謝!