A série Sum (n=1, oo) |sin(n)|/n converge ou diverge?

Question

Esto com dificuldade.
Obrigada

Answer 1

O colega acima, Matt, acho que se perdeu um pouco, mas sua idéia básica procede.

É fácil verificar que, para todo inteiro positivo k, temos sen(x) > 1/2 para x em (2kpi + pi/6 , 2kpi + 5pi/6). Fazendo um gráfico, fica bem fácil ver isto, é conseqüência do fato de que o seno tem período 2pi (são os arcos com determinação mínima entre 30 e 150 graus).

O comprimento de cada intervalo (2kpi + pi/6 , 2kpi + 5pi/6) é 5pi/6 - pi/6 = 2pi/3 > 2, o que nos garante a existência de um inteiro n_k neste intervalo (na realidade, há pelo menos 2 inteiros, escolhamos um deles, digamos o menor). Como n_k < 2kpi + 5pi/6 e sen(n_k) = |sen(n)k| > 1/2, temos que

|sen(n_k)|/(n_k) > (1/2)/(2kpi + 5pi/6) = (1/2pi) 1/(2k + 5/6) (1)

Sabemos que a série harmônica Soma (k=1, oo) 1/k diverge. Além disto, lim (1/k)/[1/(2k + 5/6)] = lim(2k + 5/6)/k = 2 >0. Como a série harmônica diverge, o teste do limite nos mostra que Soma 1/(2k + 5/6) - e, portanto, a série dos termos no membro da direita de (1) - também diverge. Isto implica que Soma (n=1, oo) |sin(n)|/n) tem uma subsérie Soma |sin(n_k)|/(n_k) que diverge, indo para oo.

Como os termos de Soma (n= 1, oo) |sin(n)|/n são positivos, concluímos então que esta série diverge para oo.

Interessante que Soma(n=1, oo) sin(n)/n converge. É assim uma série condicionalmente - mas não absolutamente -convergente. Através de números complexos, podemos até determinar seu limite.

Outro ponto interessante é que raciocínios similares mostram que Integral (1 a oo) sin(x)/dx converge (para uma expressão contendo pi de que agora não me lembro, a qual pode ser deduzida por transformada de Laplace), mas Integral |sin(x)|/x dx diverge para oo.


O comprimento de cada intervalo (2kpi + pi/6 , 2kpi + 5pi/6) é 5pi/6 - pi/6 = 2pi/3 > 2, o que nos garante a existência de um inteiro n_k neste intervalo (na realidade, há pelo menos 2 inteiros, escolhamos um deles, digamos o menor). Como n_k < 2kpi + 5pi/6 e sen(n_k) = |sen(n)k| > 1/2, temos que

|sen(n_k)|/(n_k) > (1/2)/(2kpi + 5pi/6) = (1/2pi) 1/(2k + 5/6) (1)

Sabemos que a série harmonica Soma (k=1, oo) 1/k diverge. Além disto, lim (1/k)/[1/(2k + 5/6)] = lim(2k + 5/6)/k = 2 >0. Como a série harmônica deiverge, o teste do limite nos mostra que Soma 1/(2k + 5/6) - e, portanto, a série dos termos no membro da direita de (1) - também diverge. Isto im,plica que Soma (n=1, oo) |sin(n)|/n) tem uma sub-série, Soma |sin(n_k)|/(n)k), que diverge, indo para oo.

Como os termos de Soma (n= 1, oo) |sin(n)|/n são positivos, concluímos então que esta série diverge para oo.

Interessante que Soma(n=1, oo) sin(n)/n converge. É assim uma série condicionalmente - mas não absolutamente -convergente. Através de números complexos, podemos até determinar seu limite.

Outro ponto interessante é que raciocínios similares mostram que Integral (1 a oo) sin(x)/x dx converge (para uma expressão contendo pi de que agora não me lembro, a qual pode ser deduzida por transformada de Laplace), mas Integral |sin(x)|/x dx diverge para oo.

Answer 2

Bom, minha idéia é:
temos que de k em k o |sin(n)| é 1. se sin(n) é em graus, k vale 180. Vamos só considerar os valores de n para os quais sin(n) é 1.
Temos então que:
S' = 1/k + 1/(2k) + 1/(3k) + ... = (1/k)*(1 + 1/2 + 1/3...)
o segundo fator é a série harmônica, que é divergente (a prova está na referência - inglês).
se S é uma série divergente, e k é um real diferente de 0, então S*k é divergente também.
como sum(n=0,oo)|sin(n)|/n >= S', a série em questão é divergente.

Answer 3

Anote esse sin(n) = (exp(i*n)-exp(-i*n))/(2*i) = (exp(i)^n-exp(-i)^n)/(2*i). Isto significa sum(sin(n)/n, n=1..infinity) = 1/(2*i) * sum((exp(i)^n-exp(-i)^n)/n, n=1..infinity) = 1/(2*i)*((-ln(1-exp(i))-(-ln(1-exp(-i))))) = 1.070796327...

Note that sin(n)
=(exp(i*n)-exp(-i*n))/(2*i)
=(exp(i)^n-exp(-i)^n)/(2*i).
This means sum(sin(n)/n,n=1..infinity)
=1/(2*i)*
sum((exp(i)^n-exp(-i)^n)/n,
n=1..infinity)
=1/(2*i)*((-ln(1-exp(i))
-(-ln(1-exp(-i)))))
=1.070796327...