Função que leva racionais a irracionais e vice versa, me ajudem?

Question

Apostei com um amigo que era capaz de dar um exemplo de uma função contínua de R em R que leve racionais a irracionais e irracionais a racionais. Na hora, achei que tinha um exemplo, mas depois vi eraum engano. Não estou achando esta função, achei que era fácil, mas não é não.

Podem me ajudar? A aposta é bobagem, nada de sério, vale um chopp

Obrigado

Answer 1

Você perdeu a aposta, não adianta elocubrar, esta função não existe. Há duas provas clássicas para este fato, uma baseada em Topologia, que leva em conta que R é um espaço de Baire, e outra baseada em cardinalidade, que leva em conta que o conjunto dos racionais é enumerável.

O colega que respondeu antes de mim não interpretou corretamente a questão.

Eu vou dar uma terceira prova,mais simples que as duas provas clássicas (estas provas clássicas constam em vários sites, só que agora não me lembro).

Admitamos que exista uma função f conforme descrito. Definamos g(x) = f(x) - x. Então, se x é racional f(x) é irracional e vice versa, de modo que g(x) é sempre irracional. Além disto, g é contínua e, portanto, g(R) é ou um intervalo ou um conjunto com um único elemento (que pode ser considerado como um intervalo degenerado, do tipo [a, a]).

Como g(R) é um subconjunto dos irracionais, cujo interior é vazio, segue-se que g(R) não pode conter um intervalo aberto, o que implica que contenha um único elemento, ou seja, g(R) = {k}, sendo k um irracional. Assim, para todo real x, g(x) = k = f(x) - x => f(x) = x + k.

Temos portanto que f(k) = 2k, de modo que 2k é irracional. Assim, contrariamente à hipótese, f leva o irracional k ao irracional 2k.

Segue-se que não existe nenhuma função como citado. Há funções que levam racionais a irracionais e vice versa, mas nenhuma que seja contínua em R. Um exemplo trivial é f(x) = raiz(2) se x for racional e f(x) = 0 se x for irracional. Mas f não é contínua.