Porque às vezes os matemáticos complicam quando se tratam de fazer escolhas em conjuntos?

Question

Num livro de topologia vi uma prova complicada de que todo conjunto infinito contém um subconjunto enumerável. O autor deu uma demonstração complicada, baseando-se num axioma da escolha e numa complicada função escolha (era em inglêse, spero ter traduzido certo, os termos originais eram Axiom of Choice e Choice Function).

Porque o meu raciocínio intuitivo e informal não serve? Você põem a mão no conjunto infinito A e saca um elemento, chama de b1. Como A é infinito ele nem sente, continuam restando infinitos elementos em A; põem de novo a mão em A, saca outro elemetom chama de b2. E assim por diante. Voc~e constrói de forma perfeitamente natural um conjunto eneumerável B = {b1, b2, b3....}. Isso não está certo?

Porque recorre a um axioma da escolha, que só diz o que é óbvio?

Answer 1

Olá, há muito tempo atrás quando fiz faculdade de matemática, minha professora de análise, que é russa e portanto muito mais evoluidos matematicamente que nos brasileiros, me ensinou a provar exatamente assim como você fez.

Todavia existem matemáticos puristas que fazem outras escolhas de construções lógicas (sem explicar o que é isto, por exemplo fazer matemática com ou sem alguns axiomas), mas como a lógica é axiomática, tens liberdade para adotar o teu procedimento!

Siga assim.

EDITANDO:

Nota o axioma da escolha que em poucas palavras diz que toda partição possui um sistema de representantes, é um AXIOMA, por definição não tem demonstração. O que sim existe é o Lema de Zorn que diz que toda familia parcialmente ordenada que tem cota superior tem máximo (ou cota inferior e mínimo, não importa) também é um AXIOMA. Se um matemático, escolhe fazer a sua matemática com um destes AXIOMAS, então NESTA matemática o outro é um teorema e então se demonstra. E vice versa.

Sua prova pode-ser formalizada assim:

Um conjunto A é dito infinito se não possui um número finito de elementos.

Seja A infinito, tome a1 em A, escolha B1=A\{ a1}
Note que B1 deve ser necessariamente infinito, do contrário A seria finito pois A= B1 U { a1}.
Seguindo este raciocínio por indução matemática (que também é um axioma) você destaca uma seqüencia {a1, a2, a3....} em A, que é um conjunto enumerável pois está em bijeção com os naturais.

Cadê o erro nisto? A única coisa oculta aqui é que:
Quando eu disse A= B1 U { a1} isto é uma partição de A e é o axioma da escolha que diz que eu tenho um representante em B1 outro em { a1}, e é só por isto que eu posso escolher a2 em B1 para continuar a indução.

Como já disse se você não admite o axioma da escolha então estará fazendo outra matemática, mas uma vez assumido tal axioma, a prova acima é perfeitamente aceitável.

De outro modo cada vez que um matemático tivesse que provar alguma coisa as provas estariam cheias de coisas como, pelo axioma isto, pelo axioma aquilo, etc....

Answer 2

O Kernel é uma pessoa apropriada para responder isso. Eu não sou matemático, mas não é complicação inútil não. A matemática não pode funcionar na base da intuição, tem que haver formalização. Alguns fatos "obvios" não têm mesmo demonstração trivial.Por exemplo, é evidente para todo mundo que se 2 pessoas contarem quantas bolas há numa caixa, elas têm que chegar ao mesmo resultado. Se houver divergência, pelo menos um dos resultados está errado. Isto significa provar que conjuntos equivalentes tem a mesma cardinalidade, e aprova forma disso não é assim trvila. Mas é necessário haver tal prova.

O axioma da escolha parece que hoje é aceito sem reservas, embora não tenha uma demonstração. Embora seu argumento informal faça sentido, a prova correta exige o axioma da escolha. Ele é necessário sempre que há escolhas arbitrárias, não construtivas, em uma infinidade de conjuntos.

Answer 3

Helen, concordo plenamente com seu raciocinio, estou no quarto ano de matematica, e vejo isso em análise na reta, tb não sei pq complicar tando algo que é tão simples.

Answer 4

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