Podem esclarecer dúvidas com algébricos e transcendentes?

Question

Tenho dúvidas nisto, alguém sabe dizer:

1) A soma e o produto de 2 algébricos é úm algébrico? Creio que sim, mas como podemos provar?

2) A soma de um algébrico com um transcendente e o produto de um algébrico não nulo por um transcendente, são transcendentes, certo? Se for, como provar?

3) (1) e (2), se corretas, valem só para rteais ou também para complexos?

4) O que é um inteiro algébrco? Já vi alguém dizer que raiz(2) é inteiro algébrico, mas raiz(2) é irracional, nem inteiro é.

5) no caso de reais, quando elevamos algébricos transcendentes ou vice versa, ou mesmo transcendentes a transcendentes ou algébricos racionais a irracionais, o que se obtém? Há alguma coisa neste sentido

Obrigada?

Answer 1

A resposta a sua pergunta é clara e direta.

Um número real a é algébrico sobre R(X)= espaço dos polinomios com coeficientes reais, se existe um polinômio p(x) em R(x) tal que p(a)=0.

Note que ser algébrico é sempre sobre um corpo, se muda o corpo o número pode deixar de ser algébrico.

É por isto que √2 é algébrico sobre R pois p(x)=x² -2 tem este número como raiz.

É dificil provar mas não tem polinômio com coeficientes reais tal que p(π)=0. O mesmo para e=2,7182818... número de Euler.

Corrigindo, 1 e 2 são falsos
Exemplos
a= π, b = 1-π, mas a+b=1
a= 1/π, b = π, mas a*b=1

Mas tambem vale:
Se a é algébrico, a^-1 tambem é.
Se b é transcendente, então b² tambem é.

Acho que demonstrar isto é trivial.


Para numeros complexos vale a mesma coisa, por exemplo, i, é algébrico sobre R, pois p(x)=x² +1 tem i como raiz e é um polinômio real.

Isto de inteiro algébrico deve ser por que √2 é algébrico sobre Z pois p(x)=x² -2 em Z(X) tem este número como raiz.

Mas é um conceito um pouco diferente.

Editando:
5)
Olha, eu realmente não sei responder com certeza, teria que perguntar para alguém de algebra ou teoria dos numeros, mas eu sei uma coisa muito legal: TUDO PODE ACONTECER.

Existe uma notável relação, chamada relação de Euler:

e^(i * π) = -1

Olha que incrivel, nesta formula voce pega e=2,718.. o numero de Euler que é transcendente sobre os reais. Eleva ao produto de i que é algébrico por π que tambem é transcendente, e para espanto de todos dá a coisa mais simples do mundo, -1.

Aqui tem mais exemplos:

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_transcendente


Abraço.

Answer 2

....