Como mostrar que se A tem medida positiva então A - A contém uma bola aberta?

Question

Vou fazer outra pergunta sobre teoria de medidas. Tenho tido dificuldadae, vi um aprova sobre isto baseada em convergência uniforme de funções contínuas mas não entendi.

Mostre que, se um subconjunto A de R^n tem medida de Lebesgue positiva, então A - A = {a1 - a2 | a1 e a2 estão em A} contém uma bola aberta centrada na origem.

Obrigado

Answer 1

Oi,

eu não sei provar isto diretamente, mas isto tem uma cara de aplicação do:

Teorema da Aplicação Aberta.
Sejam X e Y espaços de Banach e seja T : X → Y um
operador linear limitado sobrejectivo. Então T é uma aplicação aberta.

Para aplicá-lo defina:
X=R^n x R^n Y=R^n
T: X →Y linear dada por T(x,y)=x-y
então A-A=T(AxA). Além disto T é trivialmente sobrejetora e limitada. Pelo teorema T é uma aplicação aberta.

Note que T^-1(0)= {(x,x) | x em R^n } =diagonal de R^n x R^n .

A unica parte que eu não sei fazer é:
Se um subconjunto A de R^n tem medida de Lebesgue positiva então contem alguma bola aberta B. O que claramente NÃO é verdade ??????????
Tem que usar outra coisa, vou pensar.


Se eu provo este fato, toma BxB aberto de R^n x R^n e que intercepta a diagonal. Como T é uma aplicação aberta, T(BxB) é uma vizinhança aberta de 0.

Abraço.

Answer 2

Conheço uma prova disso, mas parece que é bem diferente da que você está citando. Vou apresentar quando der, é um tanto extensa.

Gostaria der conhecer a prova que você citou, poderia enviá-la para mim?

Ah, talvez seja algo assim:

A função f(x) = m(A inter (A + x)) é contínua em R^n (m é a medida de Lebesgue) (estou especulando, não sei se esta funçoa é contínua - embora meu sentimento diga que seja- e, se for, não sei, pelo menos der bate pronto, como provar). x + A é a translação de A por x.

Assumindo que f seja contínua, temos que f(0) = m(A inter A) = m(A) >0. Suponhamos que m(A) < oo (se não for, o fato de a medida de Lebesgue ser sigma-finita implica que A contenha um subconjunto com medida finita e positiva, o que nos permite assumir, sem perda de generalidade, que 0 < m(A) < oo). Como f é contínua em 0 e f(0) > 0, existe uma bola aberta B centrada em 0 tal que f(x) >0 para todo x de B.

Logo, para todo x de B temos que A e (x + A) se intersectam, ou teríamos m(A inter (x + A)) = m(vazio) = 0. Isto significa que existem a1 e a2 em A tais a2 = a1 + x. Assim, x = a2 - a1 com a1 e a2 em A, o que implica que x esteja em A - A, o que por sua vez implica que B esteja contida em A - A. E acabou!

Mas, na realidade, nem começou, porque assumi que f é contínua. O verdadeiro problema é provar isso. Se soubrer como, me diga.

Ah, mas dado que vc falou m seqüências de funcões, me ocorrou que, pelo menos no caso de R, talvez possamos provar isto para conjuntos bem comportados, como intervalos, e mostrar que f, qualquer que seja A, é o limite uniforme de uma seqüência de funções referentes a intervalos. Se isto for verdadae, então f, sendo o limite uniforme de uma seq. de funções contínuas, é contínua.

De novo estou especulando. Não sei como provar que f é contínua, embora aposte R$10, 00 que seja. (como vc citou esta prova, ela foi desenvolvida por alguém de notório saber e f deve ser mesmo contínua, até aposto R$ 11,50)

Puxa, no tempo que levei para estas divagações quase que dava para apresentar a prova que conheço (que não é de minha autoria, claro). Se vc quiser, apresento depois.

Acho que até agora não ajudei não, mas gostei, obrigado,. foi legal pensar nisso.