A sequencia [n-(n^2 sen(1/n))], é convergente ou divergente? se divergente, em qual pto.?

Answer 1

Seja f definida em (0, oo) por f(x) = x - x^2 sen(1/x).
Sabemos que, para todo real u, sen(u) = u - u^3/3! + u^5/5....

Como, na série, o coeficiente de u^2 é nulo, temos que sen(u) = u + o(u^2), sendo o uma função tal que o(u^2)/u^2 --> 0 quando u --> 0. Assim, para x >0, sen(1/x) = 1/x + o(1/x^2). Segue-se que

f(x) = x - x^2 sen(1/x) = x - x^2 * [1/x + o(1/x^2)] = -x^2 * o(1/x^2) = -o(1/x^2)/(1/x^2). Como 1/x^2 --> 0 quando x--> oo, segue-se que -o(1/x^2)/(1/x^2) --> 0, de modo que lim x --> f(x) = x - x^2 (sen(1/x)) = 0. E como isto vale para x tendendo a infinito segundo valores reais, vale automaticamente para n --> oo por valores inteiros.

Seu limite é 0.