Seqüência satisfazendo a |x(n +1) - x(n)| --> 0, como provar o seguinte?

Question

Suponhamos que esta seqüência esteja em um subconjunto compacto de R^n. Mostre que o conjunto dos pontos de aderência de x_n é conexo.

Enviei esta mesma pergunta para a secção americana, mas não me deram uma boa resposta. Alguns disseram que x_n é Cauchy e que o conjunto dos pontos de aderência só contém o limite da seqüência. Mas isso não é verdade, a condição |x(n +1) - x(n)| --> 0 não implica que x_n seja Cauchy, basta ver x_n = ln(n). O problema não é assim tão trivial não.

Agradeço qualquer ajuda

Answer 1

Oi, vamos tentar o seguinte, seja X= {x_n | n ЄN } um subconjunto de R^n. Defina

T: X → X por T(x_n)= x_n+1

Primeiramente afirmo que T é contínua:

Tome δ>0 e N tal que |x(n +1) - x(n)| < δ/100 para todo n>N.
Suponha |x(m) - x(n)| < δ
Então, |Tx(m) - Tx(n)|= |x(m +1) - x(n+1)|=
= |x(m +1) -x(m) + x(m) - x(n ) +x(n)- x(n+1)|≤
≤ |x(m +1) -x(m) |+ |x(m) - x(n )| +|x(n)- x(n+1)| < δ + δ/100 +δ/100 < ε

Como X está contido num compacto temos que a continuidade é uniforme.

Agora tome Y= fecho de X que é compacto e estenda T a Y, que continuaremos chamando T.

Defina Lw(X)= pontos de acumulação de X= conjunto dos limites de subsequencias de X.

Que claramente é fechado e portanto compacto. Agora resta demonstrar que Lw(X) é conexo.

A ideia da prova é ser dinâmica, por isto usamos a T.

1- Lw(X) é T invariante!
De fato se x_n' --> a Є Lw(X), então a continuidade de T implica que,
T(x_n' )=x_n'+1 --> T(a) Є Lw(X)

2- Afirmamos que Lw(X) é minimal, isto é, que não contem subconjuntos proprios compactos T invariantes.

De fato se existisse K contido em Lw(X) T invariante compacto então dada uma sequencia a_n' --> a ЄK, por continuidade e invariância
T(x_n' )=x_n'+1 --> T(a) Є K
x_n'+2 --> T²(a) Є K
etc

O que obrigaria qualquer subsequencia a convergir a K, portanto K=Lw(X).

3- Afirmamos que Lw(X) é conexo.
Do contrario se Lw(X)=A U B compactos não vazios,
tome

∩ T^k( A) contido em Lw(X) compacto não vazio
n≥0

e próprio pois está contido em A e B é não vazio, contradição!!!


Eu tenho que checar os detalhes mas este é o tipo de argumento padrão em dinâmica topológica, embora a demonstração do amigo Steiner esteja excelente, eu acho que sempre é válido ter mais ferramentas em se tratando de análise.

Answer 2

De fato, a condição dada não é a de Cauchy. Na secção dos EUA nem sempre ser obtém as respostas, é como na nossa. Para estes problemas mais elaborados o fórum ideal não é o YR, de nenhum país, apesar de que há pessoas com muito conhecimento. Aqui, temos o Kernel, além de alguns outros.

Este teorema é importante, já o vi ser usado em algoritmos, em problemas reais. Conheço uma prova, desenvolvida há bastante tempo num exercício junto com alguns amigos. Vou alinhavá-la, porque agora não tenho tempo e tenho que me lembra dos detalhes.

1) Sendo A o conjunto dos pontos de aderência, sabemos que A é fechado e está contido em um compacto C. Logo A é compacto. Para facilitar, vamos nos restringir ao compacto C, é o nosso espaço métrico universal.

2) Admita que A1 e A2 formem um desconexão de A, de modo que A1 e A2 são disjuntos, não vazios, fechados com relação a A e tenham união A. Estando no compacto C, isto implica que A1 e A2 sejam compactos.

3) R^n é um espaço topológico (métrico, no caso) normal, o que implica a existência de abertos G1 e G2, contendo A1 e A2, tais que os fechos de G1 e G2 não se intersectam e tais que a distância entre G1 e G2, d(G1,G2) = ínfimo {|g1 - g2| : g1 está em G1 e g2 está em G2} > 0 . Isto é propriedade dos espaços normais.

3) Sendo G' o complementar de G1 U G2, temos que G' é fechado no compacto C e, portanto, compacto. Se x_n tivesse uma infinidade de termos em G', então, como G' é compacto, x_n teria uma subseqüência convergindo em G', logo um ponto de aderência em G', contrariamente à definição deste conjunto. Logo, x_n tem uma cauda em G1 U G2 e podemos admitir, sem perda de generalidade, que toda a x_n está em G1 U G2.

4) x_n não tem caudas em G1 nem em G2, pois isto implicaria que seus pontos de aderência estivessem só no fecho de G1 ou só no de G2, ocasionando que, contraiamente à hipótese, ou A1 ou A2 fossem vazios. Logo, x_n tem que ter uma infinidade de termos em G1 e uma infinidade em G2.

4) Existe um inteiro i tal que n >=i implica |x(n+1) - x(n)| < d(G1, G2). Pelo que vimos, existe um k >=i tal que x(k) está em G1. De forma indutiva, admita que, para algum n >=k, x(n) esteja em G1. Como |x(n+1) - x(n)| < d(G1, G2), a definição de d(G1, G2) implica que x(n+1) esteja também em G1. Isto completa a indução e mostra que a cauda de ordem k de x_n está em G1.

5) Mas isto contraria nossa conclusão anterior de que x_n não tem caudas em nenhum dos conjuntos G1 ou G2, mostrando que a hipótese de que A não seja conexo é insustentável.

Confira, fiz correndo. Olhe os detalhes. posso ter me enganado.