Como provar convergência/divergência destas séries?

Question

Sejam a_n uma seqüência de reais positivos, s_n a seqüência das somas parciais de a_n e k > 0. Mostre que Soma a_n/(a_n + k) e Soma a_n/s_n convergem se Soma a_n convergir e divergem se Soma a_n divergir.

Grata por qualquer ajuda.

Answer 1

1) Soma a_n/(a_n + k)

Para todo n, temos que 0 < ( a_n)/(a_n + k) < (a_n)/k (1),

pois os a_n são positivos. Se Soma a_n convergir, então Soma( a_n)/k --> (Soma(a_n))/k. Em virtude de (1), segue-se por comparação que Soma (a_n)/(a_n + k) converge e que Soma (a_n)/(a_n + k) < (Soma(a_n))/k.

Se, por outro lado, Soma (a_n)/(a_n + k) convergir, então lim (a_n)/(a_n + k) = lim (1 - k/(a_n + k)) = 0, de modo que lim k/(a_n + k) = 1. Assim, lim (a_n + k)/k = lim (a_n/k + 1) = 1 => lim a_n = 0. Segue-se portanto que lim (a_n)/[(a_n)/)(a_n + k)] = lim a_n + k = k > 0. Pelo critério do limite, temos que as séries são ambas convergentes ou ambas divergentes. Como Soma (a_n)/(a_n + k) converge, Soma (a_n) também converge. Isto é o mesmo que dizer que divergência desta última implica divergência da primeira.

2) Soma a_n/s_n

Se Soma a_n = s_n convergir para algum real s, então s > 0. Temos então que lim (a_n)/[(a_n)/(s_n)] = lim s_n = s > 0. Pelo mesmo critério do limite, já mecionado, concluímos que Soma (a_n)/(s_n) converge. (E é imediato que Soma (a_n)/(s_n) < s.)

Se s_n divergir, então s_n --> oo (série de termos positivos) e o critério do limite não mais se aplica. Vamos usar outro argumento.

Sendo t_n a seqüência das somas parciais de a_n/s_n, temos, para todos n < m, que

t_m - t_n = (a_(n+1))/(s_(n+1)) ....+ (a_m)/(s_m)

Como s_n é positiva e estritamente crescente (soma de termos positivos), segue-se que

t_m - t_n > (a_(n+1))/(s_m) ....+ a_m)/(s_m) = [a_(n +1) ...+ a_m)]/(s_m) = (s_m - s_n)/(s_m) = 1 - (s_n)/(s_m). Logo

t_m - t_n > 1 - (s_n)/(s_m) (2), para todos n < m.

Como s_m --> oo, mantendo-se n fixo e fazendo-se m --> oo, o segundo membro de (2) tende a 1. Assim, para todo n, podemos achar m > n tal que 1 - (s_n)/(s_m) > 1/2. Segue-se, portanto, que, para todo n, existe m > n tal que

t_m - t_n > 1/2.

Vemos, assim, que o critério de Cauchy para convergência de séries não é satisfeito (t_n não é uma seqüência de Cauchy), de modo que Soma (a_n)/(s_n) diverge se Soma (a_n) divergir.

Estes problemas constam como exercícios no livro de Walter Rudin, Mathematical Analysis