請幫我證明這個數學式

Question

定義:
f(n,k)= n! / k!(n-k)!
試證明:
f(2n,n) = f(n,0)f(n,0) + f(n,1)f(n,1) + f(n,2)f(n,2) +........+f(n,n)f(n,n)

這是交大的資訊工程推甄題目 請幫幫忙吧

Answer 1

利用二項式定理(公式)
(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)x+C(n,2)x²+...+C(n,n)x^n ------(A)
(1+x)^n=C(n,n)+C(n,n-1)x+C(n,n-2)x²+...+C(n,0)x^n ---(B)
(A)*(B):
左邊=(1+x)^(2n)=...+C(2n,n)x^n+....
右邊=...+[C(n,0)²+C(n,1)²+...+C(n,n)²]x^n+...
比較兩邊中x^n項係數即得