Distância entre conjuntos, podem ajudar?

Question

Se A e B são dois conjuntos de um espaço métrico (X, d), a distância entre eles, d(A,B), é definida por d(A, B) = ínfimo {d(a, b) | a está em A e B está em B}. Mostre que:

a) Se os fechos de A e de B se intersectam, então d(A,B) = 0. A recíproca é verdadeira?

b) Se A é compacto, B é fechado e A e B são disjuntos, então d(A,B) > 0. Se, em vez de assumirmos que A é compacto, apenas assumirmos que é fechado, ainda é verdade que d(A,B) > 0?

Answer 1

Olá, sua pergunta é muito interessante, sabia que quando você toma todos os subconjuntos compactos de X esta distancia define a chamada Métrica de Hausdorf, muito importante para certas contruçoes topologicas.

Vamos a sua pergunta:
Vou usar a notação => cl A = fecho de A

a) Se os fechos de A e de B se intersectam, então d(A,B) = 0. A recíproca é verdadeira?

Se clA ∩ clB é não vazio temos que existem sequencias a_n em A e b_n em B tais que
a_n --->c e b_n ---> c
onde c Є clA ∩ clB
Por definição de limite d(a_n, b_n) -->0 logo
0≤d(A, B) = ínfimo {d(a, b) | a está em A e B está em B}≤
d(a_n, b_n) -->0

Portanto d(A, B) =0.

A reciproca é falsa. Tome (X,d)=(R², | |)
A={ (x,x) ЄR²| x ЄR} B={ (x,y) ЄR²| x²-y²=1 }
então d(A, B) =0.

Pois A é a assintota da hiperbole B. Para ver isto tome
a_n= (n,n) em A e b_n=(x,√(1+ n²) em B
então d(a_n, b_n) -->0 mas clA ∩ clB = vazio
Deve ter algum exemplo mais simples mas au não recordo agora.


b) Se A é compacto, B é fechado e A e B são disjuntos, então d(A,B) > 0. Se, em vez de assumirmos que A é compacto, apenas assumirmos que é fechado, ainda é verdade que d(A,B) > 0?

De fato, se por absurdo d(A,B) =0 então existem a_n em A e b_n em B tais que d(a_n, b_n) -->0 pois
d(A, B) = ínfimo {d(a, b) | a está em A e B está em B}=0
Como A é compacto a_n --->c Є A.
Por definição d(b_n, c)≤ d(b_n, a_n) +d(a_n, c) -->0
logo b_n --->c ЄB pois B é fechado. Ou seja c Є A ∩ B absurdo.

Se A não for compacto acho que o mesmo exemplo que dei acima mostra que A e B são disjuntos e fechados mas d(A,B) =0.


Acho que isto responde a tua questão mas é bom esperar o amigo Steiner dar uma olhada, ele deve ter algum comentário interessante pra fazer sobre esta questão com certeza.

Answer 2

Deu uma melhorada na cara em amigo , de matemática não entendo nada , só de comportamento humano . Começou do 0
de novo pra que isso cara .

Answer 3

Olhe no livro de elon curso de analise vol. 1 ou 2
Vc encontra a resposta ou entao ajuda a encontra-la