limite x 0 3x elevado a 2 sobre tg x sen x?

Answer 1

Olá,

concordo em genero e grau com o amigo Steiner, só queria observar que houve um pequeno equivoco,

quando ele escreve lim x/sen x -->0 é na verdade 1:

De fato este limite é muito simples mesmo:
lim . . 3x² /tg x sen x=
x--> 0
lim . . 3 (x/tg x) (x/sen x)= 3 x 1 x1=3
x--> 0

Pelos mesmos motivos que o amigo já explicou.

Answer 2

Temos, para x<>0, que (3x^2)/(tg(x) sen(x)) = 3 (x/sen(x)^2 cos(x).

Um limite conhecido é que x/sen(x) --> 1 se x --> 0 E como o cosseno é contínua, cos(x) --> cos(0) = 1 quando x--> 0.

Logo, pelas propriedades dos limites,

lim x --> 0 (3x^2)/(tg(x) sen(x) = 3 * 1^2 * 1 = 3

Com todo o respeito pelo amigo que respondeu antes de mim, inclusive pela sua extraordinária boa vontade em explicar e ajudar, que só merece aplausos (e também a melhor resposta, pela sua boa vontade), creio que a solução que dei é mais simples.

Editando
Corrigi, obrigado!

Answer 3

Olá!
Você quer dizer:
Limite de 3x² / tg(x).sen(x), quando x tende a zero?
Creio que sim!
Vou representar assim:

Lim 3x² / tg(x).sen(x)
x-->0

Ok?

Veja:
Primeiramente, você substitui x por 0 (pois tende a zero). Se no numerador der 0 e no denominador também der 0, você tem uma indeterminação. Sempre que der 0/0 ou infinito/infinito (indeterminações), você pode aplicar L'Hospital, ou seja, deriva o numerador e também deriva o denominador. Após derivar, coloca 0 novamente e vê se "some" a indeterminação.
Então:

Lim 3x² / tg(x).sen(x)
x-->0
=
Lim 3.0² / tg(0).sen(0) = 0 / 0
x-->0

Então, antes de derivar, vamos primeiramente ajustar a sua função, para cair em derivadas conhecidas:
tg(x) = sen(x) / cos(x)
tg(x).sen(x) = sen²(x) / cos(x)
3x² / tg(x).sen(x) = 3x².cos(x) / sen²(x)

Mas:
sen²(x) = 1 - cos²(x)
Pelas equações trigonométricas de arco metade temos:
cos²x = (cos(2x) + 1) / 2
Então:
sen²(x) = 1 - (cos(2x) + 1) / 2
Arrumando:
sen²(x) = (1 - cos(2x)) / 2
Ok até aqui?
Então:
3x² / tg(x).sen(x) = 3x².cos(x) / sen²(x)
ou
3x² / tg(x).sen(x) = 3x².cos(x) / (1 - cos(2x)) / 2
Logo
3x² / tg(x).sen(x) = 6x².cos(x) / (1 - cos(2x))

Portanto, o limite ficará assim:
Lim 6x².cos(x) / (1 - cos(2x))
x-->0

Se vc colocar 0 no lugar de x, ainda dará 0/0. Portanto, vamos derivar, através de L'Hospital!

Daqui em diante, você precisará conhecer as derivadas mais comuns, encontradas em algumas tabelas padronizadas de derivadas, ok?

Derivada de produto (p'):
p' = u.v' + v.u'
u = primeiro termo do produto
v = segundo termo do produto
v' = derivada de v
u' = derivada de u
Então:
1) Numerador (p')
u = 6x²
v = cos(x)
u' = 2.6x¹ = 12x
v' = -sen(x)
Logo:
u.v' + v.u'
p' = 6x².(-sen(x)) + cos(x).12x
Arrumando:
p' = cos(x).12x - sen(x).6x²
2) Derivada da soma no denominador (s'):
Bom, derivada da soma é a soma das derivadas;
derivada de constante é zero.
Então, para o denominador 1 - cos(2x)
s' = 0 - (-2.sen(2x))
s' = 2.sen(2x)

Portanto, a derivada de 6x².cos(x) / (1 - cos(2x)) é:
p' / s' = cos(x).12x - sen(x).6x² / 2.sen(2x)

Simplificando 12 e 6 com 2:
p' / s' = cos(x).6x - sen(x).3x² / sen(2x)

Portanto, o limite
Lim 6x².cos(x) / (1 - cos(2x))
x-->0

Ficará:
Lim cos(x).6x - sen(x).3x² / sen(2x)
x-->0

Agora vc substitui x por 0 e vê se "some" a indeterminação. Caso contrário, se der indeterminação novamente, precisaremos derivar novamente ou executar outro procedimento conforme o tipo de indeterminação. Então:

Lim cos(x).6x - sen(x).3x² / sen(2x)
x-->0

=

Lim cos(0).6.0 - sen(0).3.0² / sen(2.0)
x-->0

Lim 0 - 0 / 0 = 0 / 0
x-->0

Como deu 0/0, aplica L'Hospital novamente:
Agora vou fazer mais diretamente:
Sendo:
Lim cos(x).6x - sen(x).3x² / sen(2x)
x-->0

p1 = = cos(x).6x
p1' = 6cos(x) - 6x.sen(x)
p2 = - sen(x).3x²
p2' = -6x.sen(x) - 3x².cos(x)
d = denominador
d = sen(2x)
d' = 2.cos(2x)
Então, o limite
Lim cos(x).6x - sen(x).3x² / sen(2x)
x-->0
Fica assim:
Lim [6cos(x) - 6x.sen(x) - 6x.sen(x) - 3x².cos(x)] / 2.cos(2x)
x-->0
Arrumando os termos, temos:
Lim [6cos(x) - 12x.sen(x) - 3x².cos(x)] / 2.cos(2x)
x-->0
Agora substitui por 0 novamente. Caso não "suma" a indeterminação, derivar novamente!

Lim [6cos(0) - 12.0.sen(0) - 3.0².cos(0)] / 2.cos(2.0)
x-->0

= [6.1 - 0 - 0] / 2.1 = 6 / 2 =3

Portanto,
Lim 3x² / tg(x).sen(x) = 3
x-->0

Ok?
Espero ter ajudado!