Como provar este fato sobre derivadas?

Question

Pome ajudar a provar isto?

Dizemos qye f:R --> R é uniformemente derivável se, para todo eps > 0, existir delta > 0 tal que |(f(y) - f(x))/( y - x) - f'(x)| < eps para todos x and y tais que 0 < | y - x | < delta.

Mostre que f é uniformemente derivável se, e somente se, f' for uniformemente contínua em R.

Obrigada

Answer 1

Dizemos que f:R --> R é uniformemente derivável se, para todo ε > 0, existir δ > 0 tal que
|(f(y) - f(x))/( y - x) - f '(x)| < ε/2
para todos x and y tais que 0 < | y - x | < δ

Mostre que f é uniformemente derivável se, e somente se, f ' for uniformemente contínua em R.

Dem:

Suponha f é uniformemente derivável, então
|f'(y)-f'(x)|= soma e subtrai
|f'(y)-(f(y) - (f(x))/( y - x) - f '(x) ) + ((f(y) - f(x))/( y - x) - f '(x)) - f'(x)|= desigualdade triangular
≤ |f'(y)-(f(y) - (f(x))/( y - x) - f '(x) ) | + |((f(y) - f(x))/( y - x) - f '(x)) - f'(x)| ≤ε/2 + ε/2 =ε

Logo f ' é uniformeente contínua.

Reciprocamente, suponha f ' uniformemente contínua em R.
Para todo ε > 0, existir δ > 0 tal que
|f'(y)-f'(x)|< ε para todos x and y tais que 0 < | y - x | < δ.

Agora, escreva
|(f(y) - f(x))/( y - x) - f '(x)| =|( f '(c) (y-x))/( y - x) - f '(x)| =
para algum c entre x e y pelo teorema do valor médio.
=|f'(c)-f'(x)| < ε pois, c entre x e y, implica
0 < | c - x |<| y - x | < δ.

CQD