Como provar que esta função não existe?

Question

Gostaria de uma ajuda para provar que não existe nenhuma função derivável de R em R tal que f(f(x)) =1 - e^x

Obrigado

Answer 1

Não entendo porque tem gente que se dá ao trabalho de vir à secção de matemática só para fazer idiotices. Muita pobreza de espírito, precisar fazer algo assim. E os pontos que se consegue nem ao menos têm qualquer utilidade. Cretinice total.

Bom, a questão é interessante. Uma solução que me ocorre é a seguinte, baseada em pontos fixos.

A função g(x) = 1 - e^x dada tem um ponto fixo em x = 0, pois g(0) = 1 - e^0 = 1 - 1 = 0. Vamos mostrar que este é o único ponto fixo de g. Para isto, seja h(x) = x - g(x) = x - 1 + e^x, de modo que h'(x) = 1 + e^x >1 > 0para todo real x. Assim, h é estritamente crescente, o que implica que se anule se, e somente se, x =0. Isto é o mesmo que dizer que g tem um único ponto fixo em x =0.

Vamos agora mostrar 2 resultados que balizam esta prova:

1) Se g = f o f tem um único ponto fixo em algum a de R, então a também é ponto fixo de f.
Prova: Admitamos que a não seja ponto fixo de f. Então, f(a) = b <> a. Temos que g(a) = a e, portanto, f(f(a)) = f(b) = a. Aplicando-se f aos 2 últimos membros desta última igualdade, vem f(f(b) = g(b) = f(a) = b, do que concluímos que, contrariamente à hipótese, g tem um ponto fixo em algum b diferente de a. Esta contradição prova o resultado.

2) Se f é derivável em R e tem um ponto fixo em algum a de R, então g = f o f é derivável em a e g'(a) = (f'(a))^2.
Prova: Pela Regra da Cadeia, g, que é a composição da função derivável f com ela mesma, é derivável em a e g'(a) = (f(f(a))' = f'(f(a) f'(a) = f'(a) f'(a) = (f'(a))^2.
Como corolário deste último resultado, temos que g'(a) >= 0.

Suponhamos, agora, que exista uma função f, derivável em R, tal que f(f(x) = g(x) = 1 - e^x. Já vimos que g tem um único ponto fixo em x = 0. Pelo resultado 1, temos que 0 é também ponto fixo de f e, pelo resultado 2, segue-se que g'(0) >= 0. Mas, como g(x) = 1 - e^x, temos que g'(x) = - e^x, => g'(0) = -1 < 0 , contrariamente à conclusão de que g'(0) >= 0. Desta contradição, conclimos não existir nenhuma função f, derivável em R, tal que f(f(x) = 1 - e^x.

Talvez alguém apresente uma outra prova.

EDITANDO:

A demonstração dada pelo Kernel é muito interessante e, sem dúvida, melhor e mais simples do que esta que dei (a primeira que me veio na cabeça porque vi que g tinha um ponto fixo). E mais geral, pois ele acabou provando o seguinte:

Se g:R --> R é derivável e g'(x) < 0 para todo x, então não existe nenhuma função derivável f:R --> R tal que f o f = g.
Na prova, faço porém um reparo. Ele concluiu, acertadamente, que existem a e b em R tais que f'(a) e f'(b) não são nulos e têm sinais contrários e disto concluiu, pela continuidade de f, que tem que existir um c entre a e b tal que f'(c) = 0. Bem, a continuidade de f não implica isto, nem sequer implica a continuidade de f'. Derivadas podem ser descontínuas, embora jamais apresentem descontinuidades do tipo salto.

O que, na realidade, implica a existência de c com f'(c) = 0 é o fato de que derivadas, mesmo não sendo contínuas, apresentam a chamada Propriedade do Valor Intermediário (a qual também caracteriza todas as funções contínuas definidas em intervalos de R). Este fato sobre derivadas é conhecido por Teorema de Darboux e não é lá muito divulgado.

Mas a idéia dele foi muito elegante! Parabéns ao colega!

Answer 2

Me ocorre uma coisa simples para provar que tal função não existe:
Suponha por absurdo que exista f diferenciável tal que
f(f(x)) =1 - e^x

se derivamos tal expressão teremos:
f ' (f(x)) f ' (x)= - e^x

isto implica que, f ' (x)≠ 0 para todo x. Mas - e^x < 0 implica que que f ' (x) e f ' (f(x)) tem sinais opostos, o que implica que f ' (c) =0 para algum c em R pelo teorema de Darboux para derivadas, absurdo.

CQD

PS: Obrigado ao amigo Steiner pela correção da mancada.

Answer 3

f(1-e^x)=f(f(f(x)) =1-e^f(x) assim f(0)=f(1-e^0)=1-e^f(0) daqui f(0)=0. Em seguida, f'(f(x))f'(x) = - e^x assim f'(0)^2=f'(f(0)) f'(0) = - e^0=-1 para um contradiction, desde que f'(0) são real.

Answer 4

Seja g(x) = f(f(x)), derivável
dg/dx = -e^x
mas pela regara da cadeia
dg/dx = (dg/df)*(df/dx)
porém dg/df = d(f(f))/df deve ser o mesmo que
d(f(x))/dx já que é a derivada da função f no mesmo argumento. Assim
dg/dx = (df/dx)^2 = -e^x
df/dx = raiz[-1]*e^(x/2) = i*e^(x/2)
Uma vez que
df = i*e^(x/2)dx
f = C + (i/2)*e^(x/2)
Assim tu mostra que F pertence a C e não somente a R.

Ou algo desse tipo....

Answer 5

simples meu amigo ..
com a varicao de numeros corespondente ao problema X vc pode solucionar o problema Y sendo assim vc tera base pra tirar prova dos 9 .
capito

Answer 6

simples: se R/f(x) então 1-ex/x+1 e f(x)2.e

Answer 7

provando