Como provar este fato sobre funções periódicas?

Question

Gostaria de alguma ajuda para provar o seguinte:

Suponhamos que f:R --> R seja contínua, periódica e não constante. Mostre que a função g dada por g(x) = f(x^2) não é periódica em R.

Obrigada

Answer 1

Talvez haja uma solução melhor, mas vou dar a que me veio à cabeça. Vou provar um fato que acarreta a conclusão desejada.

Sabemos que se g é contínua e periódica em R, então g é uniformemente contínua em R. Logo, por contraposição, segue-se que, se g for contínua mas não for uniformemente contínua, então g não é periódica. Vamos mostrar que g é contínua mas não uniformemente contínua em R

A continuidade de g é decorrência imediata de ser a composição da função contínua f com a função contínua x --> x^2. Como f é contínua e não constante, possui período fundamental p >0. Por não ser constante, existe um real a tal que f(a) <>f(0) (ou f seria constante em f(0)).

Definamos a_n = raiz(np + a) e b_n = raiz(np), n=1,2,3... Como np --> oo quando n --> oo, temos que lim (a_n - b_n) = 0. Por outro lado, para todo n, g(a_n) - g(b_n) = f(a_n^2) - f(b_n^2) = f(np + a) - f(np) = f(a) - f(0), pois p é período de f. Assim, lim (g(a_n) - g(b_n)) = f(a) - f(0) <> 0 pois f(a) <> f(0)

Temos, assim, que (a_n - b_n) --> 0 mas, também, que g(a_n) - g(b_n) não tende a 0. Conforme sabemos, isto significa que g não é uniformemente contínua em R. E, portanto, não é periódica em R.

OBS. Você deve conhecer o seguinte teorema: g é unformemente contínua se, e somente se, para todas as seqüências a_n e b_n tais que (a_n - b_n) --> 0, tivermos que (g(a_n) - g(b_n)) --> 0. Tomei a contrapositiva deste teorema.

Espero não ter enrolado....(bom, subentende-se que quem faz este tipo de pergunta conhece estes pontos).
Tomara que apareça outra solução.